Formulaire des suites

Nous avons rassemblé sur cette page les formules à retenir. Chaque formule renvoie à la page qui l'explique. Cette page s'imprime bien : elle est faite pour réviser.

Suites arithmétiques - Suites géométriques - Sommes de puissances - Sens de variation - Limites - Suites arithmético-géométriques - Intérêts, emprunts et placements - Fibonacci et nombre d'or - Syracuse

Suites arithmétiques

Une suite arithmétique de raison r vérifie, pour tout n : $u_{n+1}=u_n+r$.
Voir la page suites arithmétiques (cours de Première).

Si le premier terme est u₁ = a : $u_n=a+r(n-1)$.
Voir la page suite arithmétique : définition et propriétés.

Si le premier terme est u₀ = a : $u_n=a+rn$.
Voir la page suite arithmétique : définition et propriétés.

Pour tous entiers n et p : $u_n=u_p+(n-p)r$.
Voir la page suites arithmétiques (cours de Première).

La raison, si le premier terme u₁ est égal à a : $r=\frac{u_n-a}{n-1}$.
Voir la page trouver la raison d'une suite arithmétique.

Les réels a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si $2b=a+c$.
Voir la page suite arithmétique : définition et propriétés.

Somme de n termes consécutifs : $u_1+\dots +u_n=n\times \frac{u_1+u_n}{2}$.
Voir la page somme des termes d'une suite arithmétique.

Si le premier terme est u₀ : $u_0+\dots +u_n=(n+1)\times \frac{u_0+u_n}{2}$.
Voir la page somme des termes d'une suite arithmétique.

Somme des termes de u_p à u_n : $u_p+\dots +u_n=(n-p+1)\times \frac{u_p+u_n}{2}$.
Voir la page somme des termes d'une suite arithmétique.

Suites géométriques

Une suite géométrique de raison q vérifie, pour tout n : $u_{n+1}=u_n\times q$.
Voir la page suites géométriques (cours de Première).

Si le premier terme est u₁ = a : $u_n=a\times q^{n-1}$.
Voir la page suite géométrique.

Si le premier terme est u₀ : $u_n=u_0\times q^n$.
Voir la page suites géométriques (cours de Première).

Pour tous entiers naturels n et p : $u_n=q^{n-p}\times u_p$.
Voir la page suite géométrique.

La raison, si le premier terme u₁ est égal à a et si q > 0 : $q={\left(\frac{u_n}{a}\right)}^{\frac{1}{n-1}}$.
Voir la page trouver la raison d'une suite géométrique.

Les réels positifs non nuls a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite géométrique si et seulement si $b^2=ac$.
Voir la page suite géométrique.

Somme des n premiers termes, de premier terme a et de raison q ≠ 1 : $S_n=a\frac{1-q^n}{1-q}$.
Voir la page somme des termes d'une suite géométrique.

Si x ≠ 1 : $1+x+x^2+\dots +x^n=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$.
Voir la page suites géométriques (cours de Première).

Sommes de puissances des entiers

Somme des n premiers entiers : $1+2+3+\dots +n=\frac{n\times (n+1)}{2}$.
Voir la page somme des n premiers entiers.

Somme des carrés : $1^2+2^2+3^2+\dots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Voir la page somme des carrés des n premiers entiers.

Somme des cubes : $1^3+2^3+3^3+\dots +n^3=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}$.
Voir la page somme des cubes des n premiers entiers.

La somme des cubes est le carré de la somme des entiers : $1^3+2^3+\dots +n^3={(1+2+\dots +n)}^2$.
Voir la page somme des cubes des n premiers entiers.

Somme des puissances quatrièmes : $1^4+2^4+3^4+\dots +n^4=\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}$.
Voir la page somme des puissances quatrièmes des n premiers entiers.

Somme des n premiers nombres impairs : $1+3+\dots +(2n-1)=n^2$.
Voir la page somme des n premiers entiers.

Somme des n premiers nombres pairs non nuls : $2+4+\dots +2n=n\times (n+1)$.
Voir la page somme des n premiers entiers.

Somme des carrés des n premiers entiers pairs : $2^2+4^2+\dots +{\left(2n\right)}^2=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$.
Voir la page somme des carrés des n premiers entiers.

Somme des carrés des n premiers entiers impairs : $1^2+3^2+\dots +{(2n-1)}^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$.
Voir la page somme des carrés des n premiers entiers.

Somme des cubes des n premiers entiers pairs : $2^3+4^3+\dots +{\left(2n\right)}^3=2n^2{(n+1)}^2$.
Voir la page somme des cubes des n premiers entiers.

Somme des cubes des n premiers entiers impairs : $1^3+3^3+\dots +{(2n-1)}^3=n^2(2n^2-1)$.
Voir la page somme des cubes des n premiers entiers.

Sens de variation

La suite (u_n) est croissante si u_n+1 − u_n ≥ 0 pour tout n, et décroissante si u_n+1 − u_n ≤ 0 pour tout n.
Voir la page suites monotones.

Si tous les termes sont strictement positifs, la suite est croissante si u_n+1 / u_n ≥ 1, et décroissante si u_n+1 / u_n ≤ 1.
Voir la page suites monotones.

Si u_n = ƒ(n) et si ƒ est croissante (respectivement décroissante) sur [a ; +∞[, alors la suite (u_n)_n≥a est croissante (respectivement décroissante).
Voir la page suites monotones.

Une suite arithmétique de raison r est strictement croissante si r > 0, strictement décroissante si r < 0, constante si r = 0.
Voir la page suites arithmétiques (cours de Première).

Pour une suite géométrique u_n = u₀ × qⁿ, on a u_n+1 − u_n = u₀qⁿ(q − 1). Si u₀ > 0, la suite est strictement croissante si q > 1 et strictement décroissante si 0 < q < 1 ; si u₀ < 0, c'est l'inverse. Si q < 0, la suite n'est pas monotone.
Voir la page suites géométriques (cours de Première).

Limites

Limites de référence : lim_n→+∞ n = +∞, lim_n→+∞ n² = +∞, lim_n→+∞ n³ = +∞, lim_n→+∞ √n = +∞ et lim_n→+∞ 1/n = 0, lim_n→+∞ 1/n² = 0, lim_n→+∞ 1/n³ = 0, lim_n→+∞ 1/√n = 0.
Voir la page limite d'une suite.

Les limites d'une somme, d'un produit et d'un quotient se lisent dans des tableaux. Il y a quatre formes indéterminées : « ∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞/∞ » et « 0/0 ».
Voir les tableaux de la page opérations sur les limites.

Si q > 1, lim_n→+∞ qⁿ = +∞. Si −1 < q < 1, lim_n→+∞ qⁿ = 0. Si q = 1, qⁿ = 1. Si q ≤ −1, la suite (qⁿ) n'a pas de limite.
Voir la page limite de qⁿ et suites géométriques.

Si −1 < q < 1 : lim_n→+∞ (1 + q + q² + … + qⁿ) = $\frac{1}{1-q}$.
Voir la page limite de qⁿ et suites géométriques.

Comparaison : si u_n ≥ v_n à partir d'un certain rang et lim_n→+∞ v_n = +∞, alors lim_n→+∞ u_n = +∞. Si u_n ≤ v_n à partir d'un certain rang et lim_n→+∞ v_n = −∞, alors lim_n→+∞ u_n = −∞.
Voir la page théorèmes de comparaison et des gendarmes.

Gendarmes : si v_n ≤ u_n ≤ w_n à partir d'un certain rang, et si (v_n) et (w_n) convergent vers ℓ, alors (u_n) converge vers ℓ.
Voir la page théorèmes de comparaison et des gendarmes.

Passage à la limite : si u_n ≤ v_n à partir d'un certain rang, avec lim_n→+∞ u_n = ℓ et lim_n→+∞ v_n = ℓ', alors ℓ ≤ ℓ'.
Voir la page théorèmes de comparaison et des gendarmes.

Limite monotone : une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge. Une suite croissante et non majorée tend vers +∞.
Voir la page suites monotones et convergence.

Point fixe : si u_n+1 = ƒ(u_n), si (u_n) converge vers ℓ et si ƒ est continue en ℓ, alors ƒ(ℓ) = ℓ.
Voir la page suites récurrentes et limites.

Suites arithmético-géométriques

Une suite arithmético-géométrique vérifie, pour tout n : $u_{n+1}=a{u}_n+b$.
Voir la page suites arithmético-géométriques.

Si a ≠ 1, on pose $\ell =\frac{b}{1-a}$ ; la suite v_n = u_n − ℓ est géométrique de raison a, et : $u_n=\ell +(u_0-\ell )a^n$.
Voir la page suites arithmético-géométriques.

Si −1 < a < 1 : lim_n→+∞ u_n = ℓ.
Voir la page suites récurrentes et limites.

Intérêts, emprunts et placements

Augmenter de t % revient à multiplier par 1 + t/100 ; diminuer de t % revient à multiplier par 1 − t/100.
Voir la page modéliser avec les suites.

Une évolution à taux constant t % se modélise par une suite géométrique de raison q = 1 + t/100 : u_n = u₀ × qⁿ.
Voir la page modéliser avec les suites.

Intérêts composés : un capital C placé au taux r pendant n années atteint la valeur $A=C\times {(1+r)}^n$.
Voir la page les intérêts composés.

Capital, taux et durée : $C=\frac{A}{{(1+r)}^n}$, $r+1={\left(\frac{A}{C}\right)}^{\frac{1}{n}}$ et $n=\frac{\log A-\log C}{\log (1+r)}$.
Voir la page les intérêts composés.

Le capital est doublé au bout de $n=\frac{\log 2}{\log (1+r)}$ années.
Voir la page les intérêts composés.

Annuité d'un emprunt C au taux annuel r sur n années : $a=C\times r\times \frac{{(1+r)}^n}{{(1+r)}^n-1}$.
Voir la page amortissement d'un emprunt par annuités.

Mensualité d'un emprunt C au taux mensuel t sur n mois : $m=\frac{C\times t}{1-{(1+t)}^{-n}}$.
Voir la page amortissement par mensualités.

Nombre de mensualités m pour rembourser C au taux mensuel t : $n=\frac{\ln \left[\frac{m}{m-C\times t}\right]}{\ln (1+t)}$.
Voir la page le taux nominal et le taux actuariel.

Placements égaux successifs : en versant a au début de chaque année pendant n années au taux r, on constitue le capital $S=a\times (1+r)\times \frac{{(1+r)}^n-1}{r}$.
Voir la page placements égaux successifs à intérêts composés.

Taux équivalents : un taux nominal annuel T donne un taux mensuel t = T/12. Le taux actuariel (taux annuel équivalent) est ${(1+t)}^{12}-1$.
Voir la page le taux nominal et le taux actuariel.

Fibonacci et nombre d'or

Suite de Fibonacci : F₀ = 0, F₁ = 1 et, pour tout n, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$.
Voir la page la suite de Fibonacci.

Le nombre d'or est la solution positive de q² − q − 1 = 0 : $\Phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Voir la page la suite de Fibonacci.

Formule de Binet : $F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n]$.
Voir la page la suite de Fibonacci.

Le rapport de deux termes consécutifs tend vers le nombre d'or : lim_n→+∞ $\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Voir la page la suite de Fibonacci.

La somme de 10 termes consécutifs est égale à 11 fois le septième : $F_n+F_{n+1}+\dots +F_{n+9}=11\times F_{n+6}$.
Voir la page propriétés de la suite de Fibonacci.

Somme des carrés de deux termes consécutifs : $F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}$.
Voir la page propriétés de la suite de Fibonacci.

Suite de Lucas : u₁ = 1, u₂ = 3 et, pour tout n ≥ 2, $u_{n+1}=u_n+u_{n-1}$.
Voir la page la suite de Lucas.

Les nombres de Lucas sont très proches des puissances du nombre d'or : pour n ≥ 2, u_n est l'entier le plus proche de Φⁿ.
Voir la page la suite de Lucas.

Syracuse

On part d'un entier strictement positif u₀ et, pour tout entier naturel n : $$u_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{u_n}{2}}& \text{si}{u}_n\text{est pair}\\ 3u_n+1& \text{si}{u}_n\text{est impair}\end{array}.$$ La conjecture de Syracuse dit que l'on finit toujours par obtenir 1. Elle n'est toujours pas démontrée.
Voir la page la suite de Syracuse.