Somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique

Soit S_n la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme a et de raison q avec q ≠ 1 et q ≠ 0.

La somme S_n s'écrit donc :

S_n = a + aq + aq² + aq³ + ... ... + aqⁿ⁻¹.

Si on multiplie tous les termes par la raison q, nous obtenons :

qS_n = aq + aq² + aq³ + aq⁴ + ... ... + aqⁿ.

On obtient ensuite en faisant la différence entre qS_n et S_n :

qS_n − S_n = aq + aq² + aq³ + aq⁴ + ... ... + aqⁿ − (a + aq + aq² + aq³ + ... ... + aqⁿ⁻¹) ;

qS_n − S_n = aq + aq² + aq³ + aq⁴ + ... ... + aqⁿ⁻¹ − ( aq + aq² + aq³ + ... ... + aqⁿ⁻¹) − a + aqⁿ ;

qS_n − S_n = aqⁿ − a ;

S_n ( q − 1 ) = a ( qⁿ − 1 ).

On obtient donc :

S_n = a ( qⁿ − 1 ) / ( q − 1 ) car q ≠ 1.

Pour obtenir la somme des n premiers termes d'une suite géométrique, il faut multiplier le premier terme de cette suite par le quotient de la puissance n^e de la raison diminuée de 1 par la raison diminuée de 1.

La formule est donc :

La somme des n premiers termes d'une suite géométrique, de premier terme a et de raison q avec q ≠ 1 et q ≠ 0,
est donnée par la formule : $S_n=a\frac{1-q^n}{1-q}$.

On trouve de nombreuses applications des suites géométriques dans les mathématiques financières, notamment dans les intérêts composés, les remboursements par annuités, la constitution d'un capital par les placements annuels.

Cependant avant de traiter ces questions, il ne sera point inutile de montrer avec quelle rapidité croissent les termes d'une suite géométrique.

Les résultats qui en proviennent étonnent les personnes qui ne sont pas familiarisées avec les mathématiques. Nous donnerons seulement des exemples.

Somme des n premiers termes de la suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et de premier terme 1

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ = $\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1+1}-1}{\frac{1}{2}-1}$ = $\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{\frac{1}{2}}$ = $2\times \left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)$ tend vers 2 lorsque n tend vers l'infini.