X Modéliser avec les suites
Beaucoup de situations de la vie courante évoluent étape par étape : chaque mois, chaque année, chaque jour. On peut alors les décrire par une suite.
Modéliser, c'est choisir la suite qui décrit le mieux la situation. Dans ce chapitre, nous rencontrons les deux cas les plus fréquents : les suites arithmétiques et les suites géométriques.
1°) Évolution à accroissements constants : suite arithmétique
Une grandeur a une évolution à accroissements constants si, à chaque étape, on lui ajoute la même quantité r (r peut être négatif : on enlève alors la même quantité).
Léa a 500 € sur son compte. Chaque mois, elle dépose 50 €. Elle ne retire rien.
On note un la somme sur le compte au bout de n mois. On a u0 = 500.
u1 = 500 + 50 = 550 ;
u2 = 550 + 50 = 600.
Pour tout n ≥ 0, un+1 = un + 50.
La suite (un) est arithmétique, de premier terme u0 = 500 et de raison 50. D'après le chapitre II :
pour tout n ≥ 0, un = 500 + 50n.
Au bout d'un an : u12 = 500 + 50 × 12 = 1100 €. Au bout de deux ans : u24 = 500 + 50 × 24 = 1700 €.
Quand aura-t-elle au moins 2000 € ? 500 + 50n ≥ 2000 ⇔ 50n ≥ 1500 ⇔ n ≥ 30. Il faut attendre 30 mois.
Un abonnement à une salle de sport coûte 40 € de frais d'inscription, puis 25 € par mois.
On note cn la somme totale payée au bout de n mois : c0 = 40 et cn+1 = cn + 25.
(cn) est arithmétique de raison 25 et cn = 40 + 25n. Au bout d'un an : c12 = 40 + 300 = 340 €.
Une évolution à accroissements constants (on ajoute r à chaque étape) se modélise par une suite arithmétique de raison r : un = u0 + nr.
On parle de croissance linéaire (ou de décroissance linéaire si r < 0).
Pourquoi « linéaire » ? Parce que un = u0 + rn est la valeur en n de la fonction affine x → rx + u0. Les points (n ; un) sont sur une droite (voir le chapitre IX).
2°) Évolution à taux constant : suite géométrique
a) Coefficient multiplicateur
Augmenter une quantité de 2 %, c'est lui ajouter 2 % d'elle-même :
V + (2 / 100) × V = V × (1 + 2 / 100) = V × 1,02.
Diminuer une quantité de 15 %, c'est lui enlever 15 % d'elle-même :
V − (15 / 100) × V = V × (1 − 15 / 100) = V × 0,85.
Augmenter de t % revient à multiplier par 1 + t/100.
Diminuer de t % revient à multiplier par 1 − t/100.
Ce nombre s'appelle le coefficient multiplicateur.
b) Taux d'évolution
Quand une grandeur passe d'une valeur de départ VD ≠ 0 à une valeur d'arrivée VA, le taux d'évolution est t = (VA − VD) / VD. On l'écrit souvent en pourcentage.
Un prix passe de 80 € à 92 €.
t = (92 − 80) / 80 = 12 / 80 = 0,15, soit une hausse de 15 %.
Le coefficient multiplicateur est 92 / 80 = 1,15 = 1 + 0,15.
c) La suite géométrique
Une ville compte 25 000 habitants en 2024. Sa population augmente de 2 % par an.
On note pn la population en l'année 2024 + n. On a p0 = 25 000.
p1 = 25 000 × 1,02 = 25 500 ;
p2 = 25 500 × 1,02 = 26 010.
Pour tout n ≥ 0, pn+1 = pn × 1,02.
La suite (pn) est géométrique, de premier terme p0 = 25 000 et de raison 1,02. D'après le chapitre III :
pour tout n ≥ 0, pn = 25 000 × 1,02n.
En 2034 (n = 10) : p10 = 25 000 × 1,0210 ≈ 30 475 habitants.
Remarquons que la population n'augmente pas de la même quantité chaque année : +500 la première année, +510 la deuxième, +520,2 la troisième ... L'augmentation grandit, car on prend 2 % d'une quantité de plus en plus grande.
Une évolution à taux constant t % (à chaque étape on multiplie par 1 + t/100) se modélise par une suite géométrique de raison q = 1 + t/100 : un = u0 × qn.
Si q > 1, on parle de croissance exponentielle. Si 0 < q < 1 (une baisse de t %), on parle de décroissance exponentielle.
Deux exemples développés sur ce site : les intérêts composés (un capital placé à taux fixe) et les nénuphars (une surface qui double chaque jour).
d) Taux successifs
Un prix de 100 € augmente de 10 %, puis baisse de 10 %. Revient-il à 100 € ?
Après la hausse : 100 × 1,1 = 110 €.
Après la baisse : 110 × 0,9 = 99 €.
Le prix final est 99 € : il a baissé de 1 %. Il ne revient pas au départ.
La raison : la baisse de 10 % porte sur 110 €, et non sur 100 €. On enlève 11 €, alors qu'on avait ajouté 10 €.
Avec les coefficients multiplicateurs : 1,1 × 0,9 = 0,99 = 1 − 0,01, soit une baisse de 1 %.
Quand on applique plusieurs évolutions successives, on multiplie les coefficients multiplicateurs. On n'additionne pas les taux.
Deux hausses successives de 10 % : 1,1 × 1,1 = 1,21. C'est une hausse de 21 %, et non de 20 %.
3°) Comparer une croissance linéaire et une croissance exponentielle
Deux villages A et B ont chacun 1000 habitants. Le village A gagne 200 habitants par an. Le village B augmente de 10 % par an.
On note un la population de A et vn celle de B au bout de n années.
(un) est arithmétique de raison 200 : un = 1000 + 200n.
(vn) est géométrique de raison 1,1 : vn = 1000 × 1,1n.
Calculons quelques termes (vn est arrondi à l'unité) :
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 | 14 | 15 | 16 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| un | 1000 | 1200 | 1400 | 1600 | 2000 | 3000 | 3800 | 4000 | 4200 | 5000 |
| vn | 1000 | 1100 | 1210 | 1331 | 1611 | 2594 | 3798 | 4177 | 4595 | 6728 |
Au début, le village A grandit plus vite : 200 habitants par an, contre 100 puis 110 puis 121 pour le village B.
Mais l'augmentation de B grandit chaque année, alors que celle de A reste égale à 200.
Pour n = 14, on a encore u14 = 3800 > v14 ≈ 3797,5. Pour n = 15, v15 ≈ 4177 dépasse u15 = 4000. Ensuite l'écart ne fait que grandir.
Une croissance exponentielle (q > 1) finit toujours par dépasser une croissance linéaire, même si elle est plus lente au début.
4°) Un algorithme de seuil
Reprenons la ville du 2°) c) : 25 000 habitants en 2024, et une hausse de 2 % par an.
En quelle année la population dépassera-t-elle 30 000 habitants ?
On calcule les termes les uns après les autres, tant que la population reste inférieure ou égale à 30 000. On compte les années dans la variable n.
p = 25000
n = 0
while p <= 30000:
p = p * 1.02
n = n + 1
print(n, round(p))Le programme affiche : 10 30475.
La boucle s'arrête dès que p dépasse 30 000. C'est le cas pour n = 10 : p10 ≈ 30 475, alors que p9 ≈ 29 877 ne dépasse pas encore 30 000.
La population dépassera 30 000 habitants en 2024 + 10 = 2034.
Exercices
Exercice X.1
Un loyer est de 600 € par mois en 2025. Chaque année, il augmente de 15 €.
On note un le loyer mensuel en l'année 2025 + n.
1) Quelle est la nature de la suite (un) ? Exprimer un en fonction de n.
2) Quel sera le loyer en 2035 ?
3) En quelle année le loyer dépassera-t-il 800 € ?
Exercice X.2
1) Un article coûte 50 €. Son prix augmente de 20 %, puis baisse de 20 %. Quel est son prix final ? Quel est le taux d'évolution global ?
2) Un autre prix augmente de 25 %. Quelle baisse, en pourcentage, faut-il appliquer pour revenir au prix de départ ?
Exercice X.3
On propose deux contrats à un salarié qui gagne 2000 € par mois.
Contrat A : son salaire augmente de 60 € chaque année.
Contrat B : son salaire augmente de 2,5 % chaque année.
On note an et bn le salaire mensuel au bout de n années avec chacun des contrats.
1) Exprimer an et bn en fonction de n.
2) Calculer a1, b1, a10 et b10. Quel contrat est le plus avantageux au début ?
3) Écrire un programme Python qui donne le nombre d'années au bout duquel le contrat B devient plus avantageux que le contrat A.
Corrections
Correction de l'exercice X.1
1) Pour tout n ≥ 0, un+1 = un + 15. La suite (un) est arithmétique de premier terme u0 = 600 et de raison 15.
Donc un = 600 + 15n.
2) 2035 = 2025 + 10, donc on calcule u10 = 600 + 15 × 10 = 750 €.
3) un > 800 ⇔ 600 + 15n > 800 ⇔ 15n > 200 ⇔ n > 200/15 ≈ 13,3.
Le plus petit entier qui convient est n = 14. Vérification : u13 = 795 et u14 = 810.
Le loyer dépassera 800 € en 2025 + 14 = 2039.
Correction de l'exercice X.2
1) Après la hausse : 50 × 1,2 = 60 €. Après la baisse : 60 × 0,8 = 48 €.
Le coefficient multiplicateur global est 1,2 × 0,8 = 0,96 = 1 − 0,04.
Le prix a baissé de 4 % (et non de 0 %). Vérification : (48 − 50) / 50 = −2 / 50 = −0,04.
2) Une hausse de 25 % multiplie le prix par 1,25. Pour revenir au départ, il faut multiplier par 1 / 1,25 = 0,8.
0,8 = 1 − 0,2 : il faut une baisse de 20 % (et non de 25 %).
Par exemple : 100 € → 125 € → 125 × 0,8 = 100 €.
Correction de l'exercice X.3
1) (an) est arithmétique de raison 60 : an = 2000 + 60n.
(bn) est géométrique de raison 1 + 2,5/100 = 1,025 : bn = 2000 × 1,025n.
2) a1 = 2060 € et b1 = 2000 × 1,025 = 2050 €.
a10 = 2000 + 600 = 2600 € et b10 = 2000 × 1,02510 ≈ 2560,17 €.
Au début, le contrat A est le plus avantageux.
3) Tant que b est inférieur ou égal à a, on passe à l'année suivante.
a = 2000
b = 2000
n = 0
while b <= a:
a = a + 60
b = b * 1.025
n = n + 1
print(n)Le programme affiche 16.
En effet, a15 = 2900 et b15 ≈ 2896,60 : le contrat A est encore meilleur. Puis a16 = 2960 et b16 ≈ 2969,01 : le contrat B devient plus avantageux au bout de 16 ans.
Remarque : au départ a0 = b0 = 2000, c'est pour cela que la condition est b <= a et non b < a.