Les suites de Cauchy

Définition d'une suite de Cauchy

On dit qu'une suite $U = (u_{n})$ de réels ou de complexes est une suite de Cauchy si elle vérifie la propriété suivante, appelée critère de Cauchy :

Pour tout $ε > 0$ , il existe un entier $N$ tel que, pour tout couple d'entiers $(p, q)$ tel que $p \geq N$ et $q \geq N$ , on a : $| u_{p} - u_{q} | \leq ε$ .

Propriétés

Si une suite $U = (u_{n})$ de réels converge vers une limite finie $λ$ , alors c'est une suite de Cauchy.

Démonstration :

Pour tout couple d'entiers (n, k), on a : $| u_{n + k} - u_{n} | = | u_{n + k} - λ + λ - u_{n} | \leq | u_{n + k} - λ | + | λ - u_{n} |$ .

Soit un réel $ε > 0$ ; il existe un entier $N$ à partir duquel pour tout n on a : $| u_{n} - λ | \leq \frac{ε}{2}$ (définition de la convergence).

De là, pour tout $n \geq N$ , on a aussi : $| u_{n + k} - λ | \leq \frac{ε}{2}$ .

Conclusion : pour tout entier $n \geq N$ et pour tout entier k, on a :

$| u_{n + k} - u_{n} | \leq | u_{n + k} - λ | + | λ - u_{n} | \leq \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$ .

Toute suite de Cauchy réelle converge.

Soit la suite $U = (u_{n})$ définie par : $u_{0} = a$ , où a est un réel strictement positif ( $a > 0$ ), et, pour tout entier n, $u_{n + 1} = \frac{u_{n} + \frac{a}{u_{n}}}{2}$ .

La suite U est une suite qui converge dans $ℝ$ vers $\sqrt{a}$ , donc c'est une suite de Cauchy.