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Somme des carrés des n premiers entiers

La suite des carrés des n premiers entiers est 1, 4 , 9, 16, 25, ... , n2 − 2n + 1 , n2.

Elle peut encore s'écrire sous la forme 12, 22, 32, 42, ... , (n − 1)2 , n2.

Nous pouvons ainsi définir 3 suites Sn , Sn2 et Sn3.

Sn est la somme des n premiers entiers. Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... ... + n.

Sn2 est la somme des n premiers carrés. Sn2 = 12 + 22 + 32 + 42 + ... ... + n2.

Sn3 est la somme des n premiers cubes. Sn3 = 13 + 23 + 33 + 43 + ... ... + n3.

Cherchons une formule pour la somme des n premiers carrés.

Il faut utiliser le développement du terme (n + 1)3 qui donne :

(n + 1)3 = (n + 1) (n + 1)2 = (n + 1) (n2 + 2n + 1) = n3 + 3n2 + 3n + 1.

En appliquant cette formule à chaque cube de (n + 1) à 1, on obtient les égalités suivantes :

(n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1

n3 = (n − 1)3 + 3 (n − 1)2 + 3(n − 1) + 1

(n − 1)3 = (n − 2)3 + 3 (n − 2)2 + 3(n − 2) + 1

(n − 2)3 = (n − 3)3 + 3 (n − 3)2 + 3(n − 3) + 1

...

...

(3)3 = (2)3 + 3 (2)2 + 3(2) + 1

(2)3 = (1)3 + 3 (1)2 + 3(1) + 1

(1)3 = (0)3 + 3 (0)2 + 3(0) + 1

En effectuant la somme membre à membre des égalités précédentes, en utilisant les notations définies plus haut, on obtient :

Sn+13 = Sn3 + 3Sn2 + 3Sn + n + 1

Il vient alors :

Sn+13 − Sn3 = 3Sn2 + 3Sn + n + 1

(n + 1)3 = 3Sn2 + 3Sn + n + 1

3Sn2 = (n + 1)3 − 3Sn − n − 1

Or, Sn = 1 + 2 + ... + n = n (n + 1) / 2. D'où :

3Sn2 = (n + 1)3 − 3[ n(n + 1) / 2 ] − n − 1

6Sn2 = 2(n3 + 3n2 + 3n + 1) − 3n(n + 1) − 2n − 2

6Sn2 = 2n3 + 6n2 + 6n + 2 − 3n2 − 3n − 2n − 2

6Sn2 = 2n3 + 3n2 + n

6Sn2 = n(2n2 + 3n + 1)

6Sn2 = n(n + 1)(2n + 1).

La formule de la somme des carrés des n premiers entiers est donc :

`1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + n^2 ` = ` {n(n + 1)(2n + 1)} / 6`

 

On peut poursuivre :

En posant : S2n2 = 22 + 42 + 62 + ... ... + (2n)2

On en déduit donc que la somme des carrés des n premiers entiers pairs est :

S2n2 = 22.12 + 22.22 + 22.32 + ... ... + 22.n2

S2n2 = 22 × (12 + 22 + 32 + 42 + ... ... + n2)

S2n2 = 22 × n (n + 1)(2n + 1) / 6

S2n2 = 2n (n + 1)(2n + 1) / 3.

La somme des carrés des n premiers entiers pairs est :

`2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + (2n)^2 ` = ` {2n(n + 1)(2n + 1)} / 3`

 

On peut poursuivre :

En posant : S2n−12 = 12 + 32 + 52 + ... ... + (2n − 1)2

De même la somme des carrés des n premiers entiers impairs :

S2n−12 = 12 + 22 + 32 + 42 + ... ... + (2n)2 − [ 22 + 42 + 62 + ... ... + (2n)2 ]

S2n−12 = 2n(2n + 1)(4n + 1) / 6 − [ 2n(n + 1)(2n + 1) / 3 ]

S2n−12 = 2n(2n + 1)[ 4n + 1 − 2(n + 1) ] / 6

S2n−12 = 2n(2n + 1)(2n − 1) / 6

S2n−12 = n(2n + 1)(2n − 1) / 3.

La somme des carrés des n premiers entiers impairs est :

`1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n − 1)^2 ` = ` {n(2n − 1)(2n + 1)} / 3`