Somme des carrés des n premiers entiers

La suite des carrés des n premiers entiers est 1, 4 , 9, 16, 25, ... , n² − 2n + 1 , n².

Elle peut encore s'écrire sous la forme 1², 2², 3², 4², ... , (n − 1)² , n².

Nous pouvons ainsi définir 3 suites S_n, S_n² et S_n³.

S_n est la somme des n premiers entiers. S_n = 1 + 2 + 3 + 4 + ... ... + n.

S_n² est la somme des n premiers carrés. S_n² = 1² + 2² + 3² + 4² + ... ... + n².

S_n³ est la somme des n premiers cubes. S_n³ = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + ... ... + n³.

Cherchons une formule pour la somme des n premiers carrés.

Il faut utiliser le développement du terme (n + 1)³ qui donne :

(n + 1)³ = (n + 1) (n + 1)² = (n + 1) (n² + 2n + 1) = n³ + 3n² + 3n + 1.

En appliquant cette formule à chaque cube de (n + 1) à 1, on obtient les égalités suivantes :

(n + 1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1

n³ = (n − 1)³ + 3 (n − 1)² + 3(n − 1) + 1

(n − 1)³ = (n − 2)³ + 3 (n − 2)² + 3(n − 2) + 1

(n − 2)³ = (n − 3)³ + 3 (n − 3)² + 3(n − 3) + 1

...

(3)³ = (2)³ + 3 (2)² + 3(2) + 1

(2)³ = (1)³ + 3 (1)² + 3(1) + 1

(1)³ = (0)³ + 3 (0)² + 3(0) + 1

En effectuant la somme membre à membre des égalités précédentes, en utilisant les notations définies plus haut, on obtient :

S_n+1³ = S_n³ + 3S_n² + 3S_n + n + 1

Il vient alors :

S_n+1³ − S_n³ = 3S_n² + 3S_n + n + 1

(n + 1)³ = 3S_n² + 3S_n + n + 1

3S_n² = (n + 1)³ − 3S_n − n − 1

Or, S_n = 1 + 2 + ... + n = n (n + 1) / 2. D'où :

3S_n² = (n + 1)³ − 3[ n(n + 1) / 2 ] − n − 1

6S_n² = 2(n³ + 3n² + 3n + 1) − 3n(n + 1) − 2n − 2

6S_n² = 2n³ + 6n² + 6n + 2 − 3n² − 3n − 2n − 2

6S_n² = 2n³ + 3n² + n

6S_n² = n(2n² + 3n + 1)

6S_n² = n(n + 1)(2n + 1).

La formule de la somme des carrés des n premiers entiers est donc :

`1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + n^2 ` = ` {n(n + 1)(2n + 1)} / 6`

On peut poursuivre :

En posant : S_2n² = 2² + 4² + 6² + ... ... + (2n)²

On en déduit donc que la somme des carrés des n premiers entiers pairs est :

S_2n² = 2².1² + 2².2² + 2².3² + ... ... + 2².n²

S_2n² = 2² × (1² + 2² + 3² + 4² + ... ... + n²)

S_2n² = 2² × n (n + 1)(2n + 1) / 6

S_2n² = 2n (n + 1)(2n + 1) / 3.

La somme des carrés des n premiers entiers pairs est :

`2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + (2n)^2 ` = ` {2n(n + 1)(2n + 1)} / 3`

On peut poursuivre :

En posant : S_2n−1² = 1² + 3² + 5² + ... ... + (2n − 1)²

De même la somme des carrés des n premiers entiers impairs :

S_2n−1² = 1² + 2² + 3² + 4² + ... ... + (2n)² − [ 2² + 4² + 6² + ... ... + (2n)² ]

S_2n−1² = 2n(2n + 1)(4n + 1) / 6 − [ 2n(n + 1)(2n + 1) / 3 ]

S_2n−1² = 2n(2n + 1)[ 4n + 1 − 2(n + 1) ] / 6

S_2n−1² = 2n(2n + 1)(2n − 1) / 6

S_2n−1² = n(2n + 1)(2n − 1) / 3.

La somme des carrés des n premiers entiers impairs est :

`1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n − 1)^2 ` = ` {n(2n − 1)(2n + 1)} / 3`

Suites en mathématiques