Suites en mathématiques

taux nominal - taux actuariel

Le taux nominal et taux actuariel dans un crédit

Le taux nominal annuel donné par les banques pour un emprunt immobilier, ne correspond pas au taux équivalent annuel du taux mensuel.

Lorsque votre banquier vous annonce que le taux de l'emprunt qu' il vous propose est égal à 4,5%, cela signifie que le taux mensuel de votre emprunt est égal à 4,5/12 soit 0,375% par mois.

l'intérêt de 1€ au bout de 1 mois étant de 0,00375€, un capital de 1€ prend une valeur égale à 1,00375 €.

Au bout d'une année, soit 12 mois, les intérêts seront de ( voir la partie intérêts composés du site ) de :

1,00375¹² − 1 = 0,04593.

Le taux équivalent à l'année est donc de 4,59%.

Le taux équivalent à l'année est le taux actuariel, qui sert de base au calcul du taux effectif auquel il faudra encore ajouter les frais de dossier et les frais d'assurance.

Dans cette exemple, l' écart entre le taux nominal 4,5% et le taux actuariel 4,59% n'est pas si grand.

Mais cela est tout autrement si on vous propose un taux nominal de 18% soit 1,5% de taux mensuel.

Généralement on vous annonce que le taux mensuel 1,5% et on laisse le soin au consommateur de faire le calcul pour obtenir le taux nominal de 18% par an.

Mais ce n'est pas encore le taux actuariel, qui lui est obtenu en élevant 1,015 à la puissance 12 en retranchant 1, ce qui donne :

1,015¹² − 1 = 1,19561 − 1 = 0,19561

soit un taux réel de 19,56% à l'année.

Exemple d'un crédit à la consommation type révolving.

On obtient avec peu d' efforts des cartes de crédit ouvrant un droit à découvert de 1500€. Pour fixer les idées prenons le taux mensuel de 1,5% précédemment étudiée.

Dans ce genre de crédit on ne calcul pas une mensualité pour un nombre de mois donnés mais on rembourse simplement une certaine somme par mois qui dépend du découvert atteint.

Supposons que le découvert maximal soit 1500€ dans notre exemple. Le consommateur va simplement reconstituer sa réserve de crédit, par exemple, par des remboursements de 45€ par mois.

Si le consommateur souhaite solder complément sa dette, combien de mois va-t-il devoir verser les mensualité de 45€ ?

A partir de la formule sur les mensualités on peut déterminer le nombre de mois. Soit n la seule inconnue dans notre exemple.

m = C × t × / [ 1 − ( 1 + t )⁻ⁿ]

( 1 + t )⁻ⁿ = 1 − C × t / m

( 1 + t )ⁿ = m / ( m − C × t )

de là on obtient en passant par les logarithme

`n = ln [ m / ( m − C × t ) ] / ln ( 1 + t ) ` = ` [ln(m) - ln( m − C × t )] / ln ( 1 + t )`

soit tout calcul fait n = 46,55 mois et un coût total de 594,75€.

Le consommateur va donc mettre plus de 46 mois soit pratiquement 4 ans à rembourser son emprunt de 1500€.

Rappelons qu'un emprunt à la consommation classique de 1500€ sur 24 mois à un taux de 8% donne des mensualités de 67,84€ soit un coût total de 128,16€.