XI Suites monotones et convergence

Dans les chapitres précédents, nous avons étudié le sens de variation d'une suite (chapitre VI) et les suites majorées, minorées ou bornées (chapitre V).

Dans ce chapitre, nous réunissons ces deux notions : lorsqu'une suite est monotone et bornée du bon côté, nous pouvons affirmer qu'elle a une limite, même sans savoir la calculer.

Les définitions des limites sont celles du chapitre VIII.

1) Théorème de la limite monotone

Ce théorème est admis : sa démonstration repose sur une propriété de l'ensemble ℝ des nombres réels qui n'est pas étudiée en Terminale.

Il faut bien lire ce que dit le théorème : la suite a une limite finie ℓ, mais le théorème ne dit pas quelle est la valeur de ℓ.

Si M est un majorant de la suite croissante (u_n), nous avons pour tout n ≥ a, u_n ≤ M, donc, en passant à la limite (voir le chapitre X), ℓ ≤ M.

Attention : la limite n'est pas forcément égale au majorant que l'on a trouvé. Par exemple la suite (u_n)_n≥0 définie par u_n = 1 − 1/(n + 1) est croissante et majorée par 5, mais sa limite est 1 et non 5.

Une suite croissante qui converge est majorée par sa limite

Si la suite (u_n)_n≥a est croissante et converge vers ℓ, alors pour tout entier n ≥ a, u_n ≤ ℓ.

Démonstration

Raisonnons par l'absurde : supposons qu'il existe un entier p ≥ a tel que u_p > ℓ.

La suite est croissante, donc pour tout entier n ≥ p, u_n ≥ u_p.

L'intervalle ouvert ]ℓ − 1 ; u_p[ contient ℓ, donc, par définition de la limite, il contient tous les termes u_n à partir d'un certain rang.

Or aucun terme u_n avec n ≥ p n'est dans cet intervalle puisque u_n ≥ u_p. C'est une contradiction.

Donc pour tout entier n ≥ a, u_n ≤ ℓ.

De la même façon, une suite décroissante qui converge vers ℓ est minorée par ℓ : pour tout entier n ≥ a, u_n ≥ ℓ.

2) Suite croissante non majorée

Si la suite (u_n)_n≥a est croissante et non majorée, alors lim_n→+∞ u_n = +∞.

Démonstration

Rappelons la définition : lim_n→+∞ u_n = +∞ signifie que pour tout réel A, l'intervalle ]A ; +∞[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Soit A un réel quelconque.

La suite n'est pas majorée, donc A n'est pas un majorant de la suite : il existe un entier p ≥ a tel que u_p > A.

La suite est croissante, donc pour tout entier n ≥ p, u_n ≥ u_p > A.

Donc tous les termes u_n avec n ≥ p sont dans l'intervalle ]A ; +∞[.

Ceci est vrai pour tout réel A, donc lim_n→+∞ u_n = +∞.

De la même façon, une suite décroissante et non minorée a pour limite −∞.

Une suite croissante a toujours une limite : soit elle est majorée et elle converge vers une limite finie ℓ, soit elle n'est pas majorée et elle tend vers +∞.

3) Méthode : suite récurrente croissante et majorée

Pour une suite définie par une relation de récurrence u_n+1 = ƒ(u_n), nous montrons souvent en une seule récurrence que la suite est monotone et bornée, puis nous concluons avec le théorème de la limite monotone.

Soit ƒ la fonction définie sur [−2 ; +∞[ par ƒ(x) = √(2 + x). Pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 = ƒ(u_n).

La fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[ et x ↦ 2 + x est croissante, donc ƒ est croissante sur [−2 ; +∞[.

Calculons quelques valeurs : u₁ = √3 ≈ 1,732 ; ƒ(1) = √3 et ƒ(2) = √4 = 2.

Soit l'énoncé P(n) de variable n suivant : « 1 ≤ u_n ≤ u_n+1 ≤ 2 », montrons qu'il est vrai pour tout entier n ≥ 0.

Récurrence :

i) Vérifions que P(0) est vrai : u₀ = 1 et u₁ = √3 ≈ 1,732, donc 1 ≤ u₀ ≤ u₁ ≤ 2 et P(0) est vrai.

ii) Soit p un entier ≥ 0 tel que P(p) soit vrai, nous avons donc par hypothèse 1 ≤ u_p ≤ u_p+1 ≤ 2. Montrons que P(p+1) est vrai, c'est-à-dire que 1 ≤ u_p+1 ≤ u_p+2 ≤ 2.

La fonction ƒ est croissante sur [−2 ; +∞[, et les nombres 1, u_p, u_p+1 et 2 sont dans cet intervalle, donc l'ordre est conservé quand on leur applique ƒ :

ƒ(1) ≤ ƒ(u_p) ≤ ƒ(u_p+1) ≤ ƒ(2) ;

d'où √3 ≤ u_p+1 ≤ u_p+2 ≤ 2 ;

or 1 ≤ √3, d'où 1 ≤ u_p+1 ≤ u_p+2 ≤ 2.

Donc P(p+1) est vrai.

Conclusion : P(n) est vrai pour tout entier n ≥ 0.

Nous avons donc pour tout n ∈ ℕ, u_n ≤ u_n+1 : la suite est croissante ; et u_n ≤ 2 : la suite est majorée par 2.

D'après le théorème de la limite monotone, la suite (u_n) converge vers une limite ℓ, et comme 1 ≤ u_n ≤ 2 pour tout n, nous avons 1 ≤ ℓ ≤ 2.

Remarque : le théorème de la limite monotone nous dit que la suite converge, mais il ne nous donne pas la valeur de la limite ℓ. Nous savons seulement que 1 ≤ ℓ ≤ 2.

Le graphique et le calcul des termes (paragraphe suivant) permettent de conjecturer que ℓ = 2. Nous le démontrerons au chapitre XIII, avec le théorème du point fixe.

4) Calculer les termes pour conjecturer la limite

Le programme suivant calcule et affiche les termes u₁ à u₁₀ de la suite du paragraphe 3).

from math import sqrt
u = 1
for n in range(1, 11):
    u = sqrt(2 + u)
    print(n, u)

À chaque tour de boucle, on remplace u par le terme suivant √(2 + u), puis on affiche le rang n et le terme u_n.

Le programme affiche les valeurs suivantes (arrondies ici au millionième) :

La dernière ligne affichée est 10 1.9999989541791767 (Python écrit les nombres décimaux avec un point).

Les termes augmentent et se rapprochent de 2 : nous conjecturons que lim_n→+∞ u_n = 2.

Un programme ne démontre rien : il ne calcule qu'un nombre fini de termes. Il permet seulement de faire une conjecture, qu'il faut ensuite démontrer.

Exercices

Exercice XI.1

Soit la suite (S_n)_n≥1 définie par S_n = 1 + 1/2² + 1/3² + ... + 1/n².

1) Montrer que la suite (S_n) est croissante.

2) Montrer par récurrence que pour tout entier n ≥ 1, S_n ≤ 2 − 1/n.

3) En déduire que la suite (S_n) converge et donner un majorant de sa limite.

Voir la correction

Exercice XI.2

Soit la suite (u_n)_n≥0 définie par u₀ = 2 et pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 = $\frac{2u_n}{1+u_n}$.

1) Étudier le sens de variation de la fonction ƒ définie sur [0 ; +∞[ par ƒ(x) = 2x / (1 + x).

2) Montrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ, 1 ≤ u_n+1 ≤ u_n ≤ 2.

3) En déduire que la suite (u_n) converge.

Voir la correction

Exercice XI.3

Soit la suite (H_n)_n≥1 définie par H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n.

1) Montrer que la suite (H_n) est croissante.

2) Montrer que pour tout entier n ≥ 1, H_2n − H_n ≥ 1/2.

3) Montrer par récurrence que pour tout entier k ≥ 0, H_2^k ≥ 1 + k/2.

4) En déduire la limite de la suite (H_n).

5) Écrire un programme qui affiche le plus petit entier n tel que H_n > 5.

Voir la correction

Corrections

Correction de l'exercice XI.1

1) Pour tout entier n ≥ 1, S_n+1 − S_n = 1/(n + 1)² > 0, donc la suite (S_n) est strictement croissante.

2) Soit l'énoncé P(n) de variable n suivant : « S_n ≤ 2 − 1/n », montrons qu'il est vrai pour tout entier n ≥ 1.

Récurrence :

i) S₁ = 1 et 2 − 1/1 = 1, donc S₁ ≤ 2 − 1/1 et P(1) est vrai.

ii) Soit p un entier ≥ 1 tel que P(p) soit vrai, nous avons donc par hypothèse S_p ≤ 2 − 1/p. Montrons que S_p+1 ≤ 2 − 1/(p + 1).

S_p+1 = S_p + 1/(p + 1)² (définition de la suite) ;

d'où S_p+1 ≤ 2 − 1/p + 1/(p + 1)² (hypothèse de récurrence).

Il suffit donc de montrer que 2 − 1/p + 1/(p + 1)² ≤ 2 − 1/(p + 1), c'est-à-dire que 1/(p + 1)² ≤ 1/p − 1/(p + 1).

Or 1/p − 1/(p + 1) = (p + 1 − p) / [p(p + 1)] = 1 / [p(p + 1)].

Et p(p + 1) ≤ (p + 1)² car p ≤ p + 1, donc 1/(p + 1)² ≤ 1 / [p(p + 1)].

D'où S_p+1 ≤ 2 − 1/(p + 1) et P(p+1) est vrai.

Conclusion : pour tout entier n ≥ 1, S_n ≤ 2 − 1/n.

3) Pour tout entier n ≥ 1, S_n ≤ 2 − 1/n < 2, donc la suite (S_n) est majorée par 2.

La suite (S_n) est croissante et majorée par 2, donc d'après le théorème de la limite monotone elle converge vers une limite ℓ, avec ℓ ≤ 2.

Remarque : on calcule S₁₀ ≈ 1,5498. Le mathématicien Euler a démontré en 1735 que la limite est π²/6 ≈ 1,6449, résultat que nous admettons ici.

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Correction de l'exercice XI.2

1) ƒ est dérivable sur [0 ; +∞[ et pour tout x ≥ 0,

ƒ'(x) = [2(1 + x) − 2x × 1] / (1 + x)² = 2 / (1 + x)² > 0.

Donc ƒ est strictement croissante sur [0 ; +∞[.

Calculons : ƒ(1) = 2/2 = 1 et ƒ(2) = 4/3.

2) Pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 = ƒ(u_n). Soit l'énoncé P(n) : « 1 ≤ u_n+1 ≤ u_n ≤ 2 ».

Récurrence :

i) u₀ = 2 et u₁ = ƒ(2) = 4/3, donc 1 ≤ u₁ ≤ u₀ ≤ 2 et P(0) est vrai.

ii) Soit p un entier ≥ 0 tel que P(p) soit vrai : 1 ≤ u_p+1 ≤ u_p ≤ 2.

Ces quatre nombres sont dans [0 ; +∞[ où ƒ est croissante, donc :

ƒ(1) ≤ ƒ(u_p+1) ≤ ƒ(u_p) ≤ ƒ(2) ;

d'où 1 ≤ u_p+2 ≤ u_p+1 ≤ 4/3 ;

or 4/3 ≤ 2, d'où 1 ≤ u_p+2 ≤ u_p+1 ≤ 2 et P(p+1) est vrai.

Conclusion : pour tout n ∈ ℕ, 1 ≤ u_n+1 ≤ u_n ≤ 2.

3) La suite (u_n) est décroissante (u_n+1 ≤ u_n) et minorée par 1, donc d'après le théorème de la limite monotone elle converge vers une limite ℓ avec 1 ≤ ℓ ≤ 2.

Les premiers termes 2 ; 1,333 ; 1,143 ; 1,067 ; 1,032 ; 1,016 font penser que ℓ = 1. Nous le démontrerons au chapitre XIII.

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Correction de l'exercice XI.3

1) Pour tout entier n ≥ 1, H_n+1 − H_n = 1/(n + 1) > 0, donc la suite (H_n) est strictement croissante.

2) Pour tout entier n ≥ 1,

H_2n − H_n = 1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n).

Cette somme a n termes, et chacun est supérieur ou égal au plus petit d'entre eux, 1/(2n).

D'où H_2n − H_n ≥ n × 1/(2n) = 1/2.

3) Soit l'énoncé P(k) : « H_2^k ≥ 1 + k/2 ».

Récurrence :

i) H_2⁰ = H₁ = 1 et 1 + 0/2 = 1, donc P(0) est vrai.

ii) Soit p un entier ≥ 0 tel que P(p) soit vrai : H_2^p ≥ 1 + p/2.

Nous avons 2^p+1 = 2 × 2^p, donc d'après la question 2) avec n = 2^p :

H_2^p+1 − H_2^p ≥ 1/2 ;

d'où H_2^p+1 ≥ H_2^p + 1/2 ≥ 1 + p/2 + 1/2 = 1 + (p + 1)/2.

Donc P(p+1) est vrai.

Conclusion : pour tout entier k ≥ 0, H_2^k ≥ 1 + k/2.

4) Montrons que la suite (H_n) n'est pas majorée. Soit M un réel quelconque. Il existe un entier k tel que 1 + k/2 > M (il suffit de prendre k > 2(M − 1)), et alors H_2^k ≥ 1 + k/2 > M.

Donc aucun réel M n'est un majorant de la suite.

La suite (H_n) est croissante et non majorée, donc d'après le théorème du paragraphe 2), lim_n→+∞ H_n = +∞.

5) Un programme possible :

n = 1
h = 1
while h <= 5:
    n = n + 1
    h = h + 1 / n
print(n)

Le programme affiche 83. En effet H₈₂ ≈ 4,990 ≤ 5 et H₈₃ ≈ 5,002 > 5.

La suite tend vers +∞, mais très lentement : il faut déjà 83 termes pour dépasser 5.

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