X Théorèmes de comparaison et des gendarmes

Les suites (sin n), (cos n) et ((−1)ⁿ) n'ont pas de limite. Les règles du chapitre IX ne permettent donc pas de trouver la limite de suites comme n + sin(n) ou sin(n)/n.

Dans ce cas, on compare la suite à des suites plus simples, dont on connaît la limite. Nous l'avons déjà fait dans le chapitre VII du cours de Première, en majorant |u_n|.

On utilise souvent les encadrements suivants, valables pour tout entier n : −1 ≤ sin(n) ≤ 1, −1 ≤ cos(n) ≤ 1 et −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1.

1) Théorème de comparaison

Démonstration

Par hypothèse, il existe un entier N₀ tel que pour tout n ≥ N₀, u_n ≥ v_n.

Soit A un réel quelconque. Comme (v_n) tend vers +∞, l'intervalle ]A ; +∞[ contient tous les termes v_n à partir d'un certain rang N₁ : pour tout n ≥ N₁, v_n > A.

Soit N le plus grand des deux entiers N₀ et N₁. Pour tout n ≥ N, on a à la fois u_n ≥ v_n et v_n > A, donc u_n > A.

L'intervalle ]A ; +∞[ contient donc tous les termes u_n à partir du rang N, et cela pour tout réel A. Donc lim_n→+∞ u_n = +∞.

Démonstration

À partir d'un certain rang, u_n ≤ v_n, donc −u_n ≥ −v_n.

La suite (v_n) tend vers −∞, donc la suite (−v_n) tend vers +∞ (voir le chapitre VIII).

D'après le théorème précédent, la suite (−u_n) tend vers +∞, donc la suite (u_n) tend vers −∞.

Remarque : pour montrer qu'une suite tend vers +∞, on cherche à la minorer par une suite qui tend vers +∞. Pour montrer qu'une suite tend vers −∞, on cherche à la majorer par une suite qui tend vers −∞.

2) Théorème des gendarmes

On l'appelle aussi théorème d'encadrement. On peut le comprendre ainsi : soit I un intervalle ouvert contenant ℓ. À partir d'un certain rang, v_n et w_n sont dans I. Comme u_n est compris entre v_n et w_n, il est aussi dans I.

Les deux « gendarmes » (v_n) et (w_n) emmènent la suite (u_n) vers la limite ℓ.

Remarque : le théorème C du chapitre VII du cours de Première est un cas particulier du théorème des gendarmes. Si |u_n| ≤ v_n à partir d'un certain rang, alors −v_n ≤ u_n ≤ v_n. Si de plus (v_n) converge vers 0, alors (−v_n) converge aussi vers 0, et (u_n) converge vers 0.

3) Passage à la limite dans une inégalité

Attention : une inégalité stricte devient large par passage à la limite. Par exemple, pour tout n ≥ 1, 1/n > 0, mais lim_n→+∞ 1/n = 0 n'est pas strictement positif.

En prenant pour (v_n) une suite constante, on obtient la conséquence suivante.

Exercices

Exercice X.1

Déterminer la limite des suites suivantes, définies pour tout n ≥ 0 :

a) u_n = n² + 5 sin(n) ;

b) v_n = −n + 2 cos(n).

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Exercice X.2

Déterminer la limite des suites suivantes :

a) (u_n)_n≥0 définie par u_n = cos(n)/(n² + 1) = $\frac{\cos \left(n\right)}{n^2+1}$ ;

b) (v_n)_n≥0 définie par v_n = (2n + (−1)ⁿ)/(n + 1) = $\frac{2n+{(-1)}^n}{n+1}$.

Voir la correction

Exercice X.3

Pour tout entier n ≥ 1, on pose S_n = 1 + 1/√2 + 1/√3 + ... + 1/√n = $\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$.

1) Montrer que pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ n, on a 1/√k ≥ 1/√n. En déduire que S_n ≥ √n.

2) Déterminer la limite de la suite (S_n).

3) Écrire un programme Python qui affiche le plus petit entier n tel que S_n > 10. Justifier que S_n > 10 pour tous les entiers n supérieurs à ce rang.

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Corrections

Correction de l'exercice X.1

a) Pour tout entier n, sin(n) ≥ −1, donc 5 sin(n) ≥ −5 et :

u_n ≥ n² − 5.

lim_n→+∞ (n² − 5) = +∞, donc d'après le théorème de comparaison, lim_n→+∞ u_n = +∞.

b) Pour tout entier n, cos(n) ≤ 1, donc 2 cos(n) ≤ 2 et :

v_n ≤ −n + 2.

lim_n→+∞ (−n + 2) = −∞, donc d'après le théorème de comparaison, lim_n→+∞ v_n = −∞.

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Correction de l'exercice X.2

a) Pour tout entier n, −1 ≤ cos(n) ≤ 1. On divise par n² + 1 > 0 :

−1/(n² + 1) ≤ u_n ≤ 1/(n² + 1).

lim_n→+∞ (n² + 1) = +∞, donc lim_n→+∞ 1/(n² + 1) = 0 et lim_n→+∞ (−1/(n² + 1)) = 0.

D'après le théorème des gendarmes, lim_n→+∞ u_n = 0.

b) Pour tout entier n, −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1, donc 2n − 1 ≤ 2n + (−1)ⁿ ≤ 2n + 1. On divise par n + 1 > 0 :

(2n − 1)/(n + 1) ≤ v_n ≤ (2n + 1)/(n + 1).

Ces deux suites donnent des formes indéterminées « ∞/∞ ». Pour tout n ≥ 1, on factorise par n :

(2n − 1)/(n + 1) = (2 − 1/n)/(1 + 1/n) et (2n + 1)/(n + 1) = (2 + 1/n)/(1 + 1/n).

Par quotient, ces deux suites convergent vers 2/1 = 2 (voir le chapitre IX).

D'après le théorème des gendarmes, lim_n→+∞ v_n = 2.

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Correction de l'exercice X.3

1) Soit k un entier tel que 1 ≤ k ≤ n. La fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[, donc 0 < √k ≤ √n. La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[, donc 1/√k ≥ 1/√n.

La somme S_n a n termes, et chacun est supérieur ou égal à 1/√n. Donc :

S_n ≥ n × 1/√n = n/√n = √n.

2) lim_n→+∞ √n = +∞ et pour tout n ≥ 1, S_n ≥ √n. D'après le théorème de comparaison, lim_n→+∞ S_n = +∞.

3) On part de n = 0 et S = 0. Tant que S ≤ 10, on ajoute 1 à n, puis on ajoute 1/√n à S.

from math import sqrt
n = 0
S = 0
while S <= 10:
    n = n + 1
    S = S + 1 / sqrt(n)
print(n)

Le programme affiche 33. En effet, S₃₂ ≈ 9,94 et S₃₃ ≈ 10,12.

Pour tout n ≥ 1, S_n+1 − S_n = 1/√(n + 1) > 0, donc la suite (S_n) est croissante. Pour tout n ≥ 33, on a donc S_n ≥ S₃₃ > 10.

Remarquons que la minoration S_n ≥ √n donnait seulement S_n > 10 pour n > 100 : elle suffit pour trouver la limite, mais elle ne donne pas le plus petit rang.

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