II Suites arithmétiques

1°) Définition

On considère les nombres successifs suivants :

−10, −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23 ...

Pour passer de chaque terme au suivant on ajoute la constante 3. On dit que ces nombres sont les termes successifs d'une suite arithmétique de raison égale à 3.

Soit a un entier naturel fixé et (u_n)_n≥a une suite à termes réels, de premier terme u_a. On dit qu'elle est une suite arithmétique s'il existe une constante réelle r telle que pour tout entier n ≥ a, u_n+1 = u_n + r, soit u_n+1 − u_n = r.

r s'appelle la raison de la suite arithmétique.

La suite des entiers naturels (u_n), pour tout n élément de ℕ avec u_n = n, est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme u₀ = 0.

La suite des entiers naturels impairs (v_n), pour tout n élément de ℕ* avec v_n = 2n − 1, est une suite arithmétique de raison 2.

Remarque : une suite arithmétique est une suite récurrente définie par son premier terme et sa raison.

2°) Calcul des termes d'une suite arithmétique

Soient a un entier naturel fixé et (u_n)_n≥a une suite arithmétique de raison r, on obtient :

u_a+1 = u_a + r ;

u_a+2 = u_a+1 + r ;

u_a+3 = u_a+2 + r ;

...

u_n−1 = u_n−2 + r ;

u_n = u_n−1 + r.

Il y a [n − (a+1) + 1] = (n − a) égalités.

Effectuons la somme membre à membre de ces (n − a) égalités :

u_a+1 + u_a+2 + ... + u_n−1 + u_n = u_a + u_a+1 + ... + u_n−2 + u_n−1 + (n − a)r.

D'où on obtient en simplifiant l'égalité suivante :

u_n = u_a + (n − a)r pour tout n ≥ a.

Soient a un entier naturel fixé et (u_n)_n≥a une suite arithmétique de premier terme u_a et de raison r,

on a pour tout entier n ≥ a, u_n = u_a + (n − a)r ;

et pour tout entier n ≥ a et entier p ≥ a, u_n = u_p + (n − p)r.

3°) Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

Soit (u_n)_n≥1 une suite arithmétique de premier terme u₁ et de raison r.

Soit k un entier ≥ 2, calculons la somme S des k premiers termes.

S = u₁ + u₂ + ... + u_k−1 + u_k.

Nous savons que pour tout 0 ≤ p ≤ k − 1 : u_p+1 = u₁ + pr et u_k−p = u_k − pr alors u_p+1 + u_k−p = u₁ + u_k (relation i).

D'où :

S = u₁ + u₂ + ... + u_k−1 + u_k ;

S = u_k + u_k−1 + ... + u₂ + u₁.

Effectuons la somme membre à membre :

S + S = u₁ + u_k + (u₂ + u_k−1) + (u₃ + u_k−2) + ... + (u_k−2 + u₃) + (u_k−1 + u₂) + u_k + u₁ ;

2S = u₁ + u_k + (u₁ + u_k) + (u₁ + u_k) + ... + (u₁ + u_k) + (u_k + u₁) + u_k + u₁ ;

2S = k(u₁ + u_k) ;

S = [k(u₁ + u_k)]÷2.

La somme de k termes consécutifs d'une suite arithmétique est le produit par k/2 de la somme du premier et du dernier terme de ces k termes.

n entier naturel non nul, calculons la somme des n premiers entiers.

S = 1 + 2 + ... + n est la somme des n premiers termes de la suite arithmétique (u_p)_p≥1 de premier terme u₁ = 1 et de raison 1, avec u_n = n. D'après le théorème, S = n(1 + n)÷2.

Pour tout n ≥ 1, S = 1 + 2 + ... + n = n(n+1)÷2.

Additif

On écrit k termes consécutifs d'une suite arithmétique, k entier ≥ 2.

Le premier et le dernier sont les termes extrêmes ; deux de ces k termes sont équidistants des extrêmes s'il y a autant de termes avant l'un qu'après l'autre.

La somme de 2 termes équidistants des extrêmes est égale à la somme des termes extrêmes.

u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆ termes consécutifs d'une suite arithmétique.

On a alors u₁ + u₆ = u₂ + u₅ = u₃ + u₄.

u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆, u₇ termes consécutifs d'une suite arithmétique.

On a alors u₁ + u₇ = u₂ + u₆ = u₃ + u₅ = u₄ + u₄ = 2u₄.

3 nombres x, y, z sont dans cet ordre 3 termes consécutifs d'une suite arithmétique

si et seulement si x + z = 2y.

4°) Sens de variation d'une suite arithmétique

Soient a un entier naturel fixé et (u_n)_n≥a une suite arithmétique de raison r.

Si r > 0, la suite est strictement croissante.

Si r < 0, la suite est strictement décroissante.

Si r = 0, la suite est constante.

Démonstration.

Pour tout entier n ≥ a, u_n+1 = u_n + r, donc u_n+1 − u_n = r.

La différence u_n+1 − u_n a donc toujours le signe de r.

Si r > 0, pour tout n ≥ a, u_n+1 − u_n > 0 : la suite est strictement croissante.

Si r < 0, pour tout n ≥ a, u_n+1 − u_n < 0 : la suite est strictement décroissante.

Si r = 0, pour tout n ≥ a, u_n+1 = u_n : la suite est constante.

Soit la suite (u_n)_n∈ℕ définie par u_n = 5 − 2n.

Pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 − u_n = 5 − 2(n + 1) − (5 − 2n) = 5 − 2n − 2 − 5 + 2n = −2.

La suite est arithmétique de raison r = −2 < 0, elle est strictement décroissante.

On vérifie sur les premiers termes : u₀ = 5, u₁ = 3, u₂ = 1, u₃ = −1, ...

Soit la suite arithmétique (v_n)_n∈ℕ de premier terme v₀ = −7 et de raison r = 0,5.

La raison est strictement positive, donc la suite est strictement croissante.

v₀ = −7, v₁ = −6,5, v₂ = −6, v₃ = −5,5, ...

Les termes sont négatifs au début, mais la suite est quand même croissante : c'est le signe de la raison qui compte, pas le signe des termes.

5°) Somme des n premiers entiers : démonstration

Au 3°) nous avons obtenu la formule 1 + 2 + ... + n = n(n+1)÷2 à partir du théorème sur la somme de termes consécutifs. Voici une démonstration directe, qui reprend l'idée attribuée à Gauss (voir la page somme des n premiers entiers).

Soit n un entier naturel non nul. On note S_n = 1 + 2 + 3 + ... + n.

On écrit la somme deux fois, une fois dans l'ordre et une fois dans l'ordre inverse :

S_n = 1 + 2 + 3 + ... + (n − 1) + n ;

S_n = n + (n − 1) + (n − 2) + ... + 2 + 1.

On additionne ces deux égalités membre à membre, en regroupant les termes qui sont l'un au-dessous de l'autre :

2S_n = (1 + n) + (2 + n − 1) + (3 + n − 2) + ... + (n − 1 + 2) + (n + 1).

Chaque parenthèse est égale à n + 1, et il y a n parenthèses :

2S_n = n(n + 1).

D'où :

Pour tout entier n ≥ 1, $1 + 2 + \dots + n$ = $\frac{n (n + 1)}{2}$ .

Pour n = 100 : 1 + 2 + ... + 100 = 100 × 101 ÷ 2 = 5050.

Pour n = 200 : 1 + 2 + ... + 200 = 200 × 201 ÷ 2 = 20100.

6°) Deux algorithmes

a) Calcul d'une somme de termes

La fonction Python suivante calcule la somme S = u₀ + u₁ + ... + u_n d'une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r. À chaque passage dans la boucle, on ajoute le terme u à la somme s, puis on passe au terme suivant en ajoutant r.

def somme(u0, r, n):
    u = u0
    s = 0
    for k in range(n + 1):
        s = s + u
        u = u + r
    return s

print(somme(2, 3, 10))

Le programme affiche 187. Vérifions avec le théorème du 3°) : u₁₀ = 2 + 10 × 3 = 32 et la somme des 11 termes u₀, ..., u₁₀ vaut 11 × (2 + 32) ÷ 2 = 11 × 17 = 187.

b) Algorithme de seuil

Soit la suite arithmétique (u_n)_n∈ℕ de premier terme u₀ = 2 et de raison 3. Elle est strictement croissante. On cherche le plus petit entier n tel que u_n > 1000.

Le programme suivant calcule les termes les uns après les autres tant que u_n ≤ 1000, en comptant les étapes avec n.

u = 2
n = 0
while u <= 1000:
    u = u + 3
    n = n + 1
print(n, u)

Le programme affiche 333 1001 : le plus petit entier cherché est n = 333, et u₃₃₃ = 1001.

On peut le vérifier par le calcul : u_n = 2 + 3n et 2 + 3n > 1000 ⇔ 3n > 998 ⇔ n > 332,66... donc n = 333. On a bien u₃₃₂ = 998 ≤ 1000 et u₃₃₃ = 1001 > 1000.

Exercices

Exercice II.1

(u_n)_n≥0 est une suite arithmétique de premier terme u₀ = 2 et de raison r = 3. Calculer la somme S des 50 termes consécutifs qui suivent le terme u₅₀.

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Exercice II.2

(u_n)_n≥0 est une suite arithmétique de premier terme u₀ = 40 et de raison r = −3.

1) Quel est le sens de variation de cette suite ?

2) Exprimer u_n en fonction de n.

3) Déterminer par le calcul le plus petit entier n tel que u_n < 0.

4) On considère le programme Python suivant. Qu'affiche-t-il ? Comparer avec la question 3).

u = 40
n = 0
while u >= 0:
    u = u - 3
    n = n + 1
print(n)

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Exercice II.3

1) Calculer la somme 1 + 2 + 3 + ... + 200.

2) (u_n)_n≥0 est la suite définie par u_n = 5 + 3n. Montrer que c'est une suite arithmétique, puis calculer la somme S = u₀ + u₁ + ... + u₉₉.

3) Quelle instruction faut-il écrire avec la fonction somme du 6°) pour vérifier le résultat de la question 2) ?

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Corrections

Correction de l'exercice II.1

S = u₅₁ + u₅₂ + ... + u₁₀₀ = 50 ÷ 2 × (u₅₁ + u₁₀₀).

u₅₁ = u₀ + (51 − 0)r = 2 + 153 = 155 ;

u₁₀₀ = u₀ + (100 − 0)r = 2 + 300 = 302.

S = 50 ÷ 2 × (155 + 302) = 25 × 457 = 11425.

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Correction de l'exercice II.2

1) La raison r = −3 est strictement négative, donc la suite est strictement décroissante.

2) Pour tout entier n ≥ 0, u_n = u₀ + (n − 0)r = 40 − 3n.

3) u_n < 0 ⇔ 40 − 3n < 0 ⇔ 3n > 40 ⇔ n > 40 ÷ 3.

Or 40 ÷ 3 ≈ 13,33, donc le plus petit entier n tel que u_n < 0 est n = 14.

Vérification : u₁₃ = 40 − 39 = 1 ≥ 0 et u₁₄ = 40 − 42 = −2 < 0.

4) Le programme enlève 3 à u tant que u est positif ou nul, et compte les étapes avec n. Il s'arrête dès que u devient strictement négatif, c'est-à-dire quand u = u₁₄ = −2.

Le programme affiche 14 : on retrouve le résultat de la question 3).

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Correction de l'exercice II.3

1) D'après la formule du 5°) avec n = 200 :

1 + 2 + ... + 200 = 200 × 201 ÷ 2 = 100 × 201 = 20100.

2) Pour tout entier n ≥ 0, u_n+1 − u_n = 5 + 3(n + 1) − (5 + 3n) = 3.

La suite est arithmétique de premier terme u₀ = 5 et de raison 3.

u₉₉ = 5 + 3 × 99 = 5 + 297 = 302.

S est la somme de (99 − 0 + 1) = 100 termes consécutifs, donc :

S = 100 ÷ 2 × (u₀ + u₉₉) = 50 × (5 + 302) = 50 × 307 = 15350.

3) Le premier terme est 5, la raison est 3 et le dernier terme est u₉₉, il faut donc écrire print(somme(5, 3, 99)). Le programme affiche 15350.

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