La célèbre suite du mathématicien italien Fibonacci
calcul des termes de la suite - propriétés de la suite - démontration que (`F_{n+1}` / `F_n`) tend vers le nombre d'or
La suite de Fibonacci tient son nom du mathématicien italien Leonardo Fibonacci, qui a vécu à Pise au XIIème siècle (1175-1240), d'où son nom de Léonard de Pise, en référence à Léonard de Vinci.
La suite de Fibonacci se construit facilement : chaque terme de la suite, à partir du rang 2, s'obtient en additionnant les deux précédents, les deux premiers termes étant 0 et 1. Le troisième terme est donc 1 (0 + 1 = 1), le quatrième terme 2 (1 + 1 = 2), le cinquième 3 (1 + 2 = 3), le sixième 5 (2 + 3 = 5), et ainsi de suite.
Le début de la suite du célèbre mathématicien Fibonacci est donc : 0, 1, 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13, 21 ...
Appelons (`F_n`) la suite de Fibonacci. On a donc `F_0` = 0 ; `F_1` = 1 et pour tout n entier naturel,
on a alors `F_{n+2} = F_{n+1} + F_n`.
Chaque terme de cette suite, à partir du rang 2, est donc la somme des deux termes précédents.
La suite de Fibonacci n'est ni arithmétique, ni géométrique.
En effet, `F_1` − `F_0` = 1 − 0 = 1 et `F_2` − `F_1` = 1 − 1 = 0. La différence entre deux termes consécutifs de cette suite n'est pas constante donc la suite de Fibonacci n'est pas arithmétique.
Son premier terme étant 0, elle ne peut être géométrique. On remarque également par exemple que `F_4/F_3 = 3/2` et que `F_5/F_4 = 5/3`. En définissant une suite en prenant les termes de la suite de Fibonacci à partir du terme de rang 2, on obtient donc une suite qui n'est pas géométrique : le rapport entre 2 termes consécutifs de cette suite n'est pas constant.
Calcul des termes de la suite Fibonacci
En calculant les termes de la suite, on constate que les termes de la suite de Fibonacci sont très rapidement élevés. En effet, voici les 52 premiers termes que l'on obtenir facilement avec un tableur comme excel :
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049, 12586269025, 20365011074.
Le 52ème terme de la suite de Fibonacci, qui correspond à n = 51, est égal à 20 365 011 074 ce terme est composé de 11 chiffres, il se décompose en facteur comme suit : 2 × 1597 × 6376021.
Trouver les termes de cette suite reste un challenge, même pour nos ordinateurs les plus récents.
Voici ce que l'on peut obtenir assez rapidement les termes de la suite de Fibonacci avec un algorithme en C.
`F_{100}` = 354224848179261915075.
`F_{476}` = 1344719667586153181419716641724567886890850696275767987106294472017884974410332069524504824747437757 comporte lui 100 chiffres.
`F_{1000}` =
4346655768693745643568852767504062580256466051737178040248172908953655541794 905189040387984007925516929592259308032263477520968962323987332247116164299644090653318 7938298969649928516003704476137795166849228875 quand à celui-ci je vous laisse le plaisir de les compter.
Le premier terme de la suite a être composé de 1000 chiffres est `F_{4782}`
Soit F=(`F_n`) la suite de Fibonacci. On a donc `F_0` = 0 et `F_1` = 1 et pour tout n ≥ 1, `F_{n+1}` = `F_n` + `F_{n-1}`.
La suite de Fibonacci possède les propriétés suivantes :
`P_1` : Pour tout n ≥ 1, `F_{n+1} = F_n + F_{n-1}` ou encore `F_n = F_{n+1} − F_{n-1}`
`P_2` : La somme de 10 termes consécutifs de la suite de Fibonacci est égale au produit du septième terme par 11 :
`F_n + F_{n+1} + F_{n+2}` + ... ... + `F_{n+9} = 11 × F_{n+6}`
En effet, si l'on pose : `F_n = x` et `F_{n+1} = y`
On obtient ensuite :
`F_{n+2} = x + y`;
`F_{n+3} = x + 2y`;
`F_{n+4} = 2x + 3y`;
`F_{n+5} = 3x + 5y`;
`F_{n+6} = 5x + 8y`;
`F_{n+7} = 8x + 13y`;
`F_{n+8} = 13x + 21y`;
`F_{n+9} = 21x + 34y`.
`F_n + F_{n+1} + F_{n+2}` + ... ... + `F_{n+9}` = `55x + 88y` = `11(5x + 8y)` = `11 × F_{n+6}`
`P_3` : Le terme de rang (n+2) de la suite de Fibonacci est égal à la somme des (n+1) premiers termes de cette suite, à laquelle nous ajoutons 1. C'est-à-dire : `F_{n+2} = F_0 + F_1 + F_2 + ... + F_n + 1`.
Démonstration par récurrence de `F_{n+2}` = `F_0 + F_1 + F_2 +` ... `+ F_n + 1`.
On pose : Sn = `F_0 + F_1 + F_2 + ... + F_n + 1` pour n ≥ 2.
Soit Pn la proposition Sn = `F_{n+2}` pour n ≥ 2.
Initialisation
Pour n = 2
S2 = `F_0 + F_1 + F_2 + 1 = 0 + 1 + 1 + 1 = 3` et `F_{2+2} = F_{4} = F_2 + F_{3} = 1 + 2 = 3` donc Pn est vraie pour n = 2.
Hérédité
On suppose que pour un entier n, avec n ≥ 2, on a Pn est vraie, soit Sn = `F_{n+2}` .
Sn+1 = `F_0` + `F_1` + `F_2` + ... + `F_n` + `F_{n+1}` + 1
Sn+1 = `F_0` + `F_1` + `F_2` + ... + `F_n` + 1 + `F_{n+1}`
Sn+1 = Sn + `F_{n+1}`
Sn+1 = `F_{n+2}` + `F_{n+1}`
Sn+1 = `F_{n+3}`
Sn+1 = `F_{(n+1)+2}`
donc Pn+1 est encore vraie.
D’où, d’après le raisonnement par récurrence, pour tout n ≥ 2, u0 + u1 + u2 +... + un + 1= un+2.
`P_4` : La somme des (n+1) premiers termes de rang pair et du terme de rang 1 de la suite de Fibonacci est égale au terme de rang (2n+1) de la suite de Fibonacci : `F_0 + F_1 + F_2 + F_4 + F_6 +` ... `+ F_{2n} = F_{2n+1}`.
Démonstration par récurrence de `F_0 + F_1 + F_2 + F_4 + F_6 +` ... `+ F_{2n}` = `F_{2n+1}`.
On pose : Sn = `F_0` + `F_1` + `F_2` + `F_4` + `F_6` +... + `F_{2n}` pour n ≥ 1.
Soit Pn la proposition Sn = `F_{2n+1}` pour n ≥ 1.
Initialisation
Pour n = 1
S1 = `F_0` + `F_1` + `F_2` = 0 + 1 + 1 = 2 et `F_2` × 1 + 1 = `F_3`= `F_1` + `F_2` = 2 donc Pn est vraie pour n = 1.
Hérédité
On suppose que pour un entier n, avec n ≥ 1, on a Pn est vraie, soit Sn = `F_{2n+1}` .
Sn+1 = `F_0` + `F_1` + `F_2` + `F_4` + `F_6` +` ... `+ `F_{2n}` + `F_{2n+2}`
Sn+1 = `F_{2n+1}` + `F_{2n+2}`
Sn+1 = `F_{2n+3}`
Sn+1 = `F_{2(n+1)+1}s`
donc Pn+1 est encore vraie.
D’où, d’après le raisonnement par récurrence, pour tout n ≥ 1, `F_0 + F_1 + F_2 + F_4 + F_6 +` ... `+ F_{2n} = F_{2n+1}` .
`P_5` : La somme des carrés de 2 termes consécutifs de rang n et (n+1) de la suite de Fibonacci est égale au terme de rang (2n+1) : `F_n^2 + F_{n+1}^2 = F_{2n+1}`.
`P_6` : Pour tout entier naturel n différent de 4, si `F_n` est premier, alors n est premier.
La réciproque est fausse. Exemple `F_19` est composé
Par contraposé si n n'est pas premier alors `F_n` est composé. Ce qui est intéressant pour rechercher des termes de la suite de Fibonacci qui sont premiers.
Montrons que (`F_{n+1}` / `F_n`) tend vers le nombre d'or `Φ (Φ = (1 + √5) / 2)`
Soit E l'ensemble des suites (`F_n`) qui vérifient la relation suivante :
`F_{n+2} = F_{n+1} + F_n`.
Nous admettons que E est un ensemble stable, c'est-à-dire que pour toutes suites (an) et (bn) de l'ensemble E, la suite (sn), définie par sn = λan + µbn , λ et µ réels, est aussi une suite de l'ensemble E.
Cherchons les suites géométriques (an) de raison q définies, pour tout entier n, par an = a0qn, qui appartiennent à E, c'est-à-dire que pour tout entier n : an+2 = an+1 + an.
On a donc : an+2 = an+1 + an
D'où : a0qn+2 = a0qn+1 +a0qn
Et donc : a0qn (q2 − q − 1) = 0
On a alors : a0= 0 ou qn = 0 ou (q2 − q − 1) = 0
C'est-à-dire a0= 0 ou q = 0 ou (q2 − q − 1) = 0
Si a0 = 0 ou si q = 0, alors la suite (an) est nulle.
On suppose donc a0 ≠ 0 et q ≠ 0.
On a alors : q2 − q − 1 = 0
Les solutions de cette équation du second degré sont : (1 − √5)/2 et (1 + √5)/2.
On note : q1 = (1 − √5)/2 et q2 = (1 + √5)/2.
On peut remarquer que q2 est le nombre d'or `Φ = (1 + √5) / 2`.
On peut ainsi définir deux suites géométriques (an) et (bn) de E telles que :
an = a0 [ (1 − √5)/2]n et bn = b0 [ (1 +√5)/2]n avec a0 = b0 = 1.
On a : `a_n = ((1 - √5)/2)^2 = q_1^n` et `b_n = ((1 + √5)/2)^2 = q_2^n`.
De là, la suite (`F_n`), définie par `F_n`= λan + µbn, pour tout entier n et pour tous réels λ et µ , appartient elle aussi à E et vérifie donc la relation : `F_{n+2}` = `F_{n+1}` + `F_n`.
Déterminons les valeurs de λ et µ telles que `F_0` = 0 et `F_1` = 1.
`F_0` = λa0 + µb0 = λ×1 + µ×1 = λ + µ.
On veut que `F_0` = 0 donc : λ + µ = 0 d'où λ = −µ.
`F_1` = λa1 + µb1 = −µa1 + µb1 = −µ a0 [ (1 − √5)/2]1 + b0 [ (1 +√5)/2]1 = −µ [ (1 − √5)/2] + µ [ (1 +√5)/2]
On veut que `F_1` = 1 donc : −µ [ (1 − √5)/2] + µ [ (1 +√5)/2] = 1
D'où µ [(1 +√5)/2 − (1 −√5)/2] = 1
Et donc µ√5 =1 .
D'où µ = 1/√5 , c'est-à-dire µ = √5/5 et donc λ = −√5/5.
Calculons le rapport `F_{n+1}` / `F_n`
`F_{n+1}/F_n = (λq_1^{n+1} + µq_2^{n+1})/(λq_1^{n} + µq_2^{n})`
`F_{n+1}/F_n = (-µq_1^{n+1} + µq_2^{n+1})/(-µq_1^{n} + µq_2^{n})`
`F_{n+1}/F_n = (q_2^{n+1} - q_1^{n+1})/(q_2^{n} - q_1^{n})`
`F_{n+1}/F_n = (q_2 - q_1 × (q_1/q_2)^{n})/(1 - (q_1/q_2)^{n})`
Or, le rapport `q_1/q_2` est est compris entre −1 et 1. En effet :
`q_1/q_2 = (1-√5)/(1+√5)`
`q_1/q_2 = (1-√5)^2/((1-√5)(1+√5))`
`q_1/q_2 = (1-2√5+5)/(1-5)=(√5-3)/2 ∈` `]-1;1[`
De là, le terme `(q_1/q_2)^{n}` tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
On peut conclure que le rapport `F_{n+1} / F_n` de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci tend vers `q_2`, soit le nombre d'or `(1 + √5) / 2`.
extentions :
valeurs des 5000 premiers termes (attention gros fichier) - décomposition des 200 premiers termes de la suite de Fibonacci en facteurs premiers