Suites en mathématiques

Somme des n premiers entiers

Somme des n premiers entiers naturels

Trouver la somme des 50 premiers entiers naturels non nuls.

La suite des nombres entiers est une suite arithmétique dont la raison est 1.

La somme des 50 premiers nombres entiers non nuls est donc :

1 + 2 + ... + 49 + 50 = 50 × ( 1 + 50 ) / 2 = 1275.

Gauss, enfant prodige, et la somme des 100 premiers entiers non nuls.

On raconte qu'entre 7 et 10 ans, Karl Gauss, mathématicien de génie, aurait trouvé une façon de calculer la somme des nombres entiers de 1 à 100 très rapidement, à la grande surprise de son professeur.

En effet, il remarqua que, en additionnant les premier et dernier termes, on obtenait 101, de même qu'en additionnant le deuxième et l'avant dernier, le troisième et l'avant avant dernier et ainsi de suite.

On obtient donc :

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101

...

49 + 52 = 101

50 + 51 =101

Cela donne 50 sommes toutes égales à 101. On obtient donc :

1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 50 × 101 = 5 050

Somme des n premiers nombres entiers

Il vient de même que la somme des n premiers entiers est égale à :

Démonstration : on nomme S_n la somme des n premiers entiers

S_n = 1 + 2 + 3 + ... + n

S_n = n + n-1 + ... + 2 + 1

2 × S_n = n+1 + n+1 + ... + n+1 + n+1 ; en sommant 2 fois la somme on obtient n fois la somme de (n+1)

2 × S_n = n × ( n + 1 )

Donc :

`1 + 2 + 3 + ... + n ` = ` {n × ( n + 1 )} / 2`

Somme des n premiers nombres impairs.

La suite des nombres impairs forme aussi une suite arithmétique, dont la raison est 2. Pour trouver la somme des 50 premiers nombres impairs, il faut d'abord connaître le 50^ème terme ; il est égal à :

u₅₀ = 1 + 2 ( 50 − 1) = 1 + 2 × 49 = 99.

La somme des extrêmes est égale à :

1 + 1 + 2 × 49 ou 2 + 2 × 49.

La somme des 50 premiers termes est donc :

1 + 3 + ... + 97 + 99 = [ ( 2 + 2 × 49 ) / 2 ] × 50 = ( 1 + 49 ) × 50 = 50².

Ainsi la somme des 50 premiers nombres impairs est égale au carré de 50. Il en est toujours ainsi, quel que soit le nombre de termes additionnés. Il vient donc :

La somme des n premiers nombres impairs est égale au carré de n.

`1 + 3 + ... ... + (2n − 1) ` = ` n^2`

Démonstration

Pour tout n entier naturel non nul, on a : u₁= 1 et u_n = u₁ + r × (n − 1) = 1 + 2 ( n − 1 ).

On pose :

S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n

S_n = n × [ u₁ + u_n ] / 2

S_n = n × [ 1 + 1 + 2 ( n − 1 ) ] / 2

S_n = n × [ 2 + 2 ( n − 1 ) ] / 2

S_n = n × 2 [ 1 + n − 1 ] / 2

S_n = n × n

On obtient que S_n = n².

Vous pouvez retrouver la démonstration par récurrence de S_n = n² sur le lien suivant : http://www.les-suites.fr/cours−suites−terminale−S/raisonnement−par−recurrence.php.

Somme des n premiers nombres pairs.

La somme des n premiers entier pairs est évidente.

S = 2 + 4 + ... + 2n

S = 2 × (1 + 2 + ... + n)

S = 2 × n × ( n + 1 ) / 2

S = n × (n + 1)

La somme des n premiers nombres pairs est égale au produit de n par (n + 1)

`2 + 4 + ... + 2n ` = ` n × (n + 1)`