IX Opérations sur les limites

Revenir à la définition de la limite (chapitre VIII) pour chaque suite serait très long. Les règles de ce chapitre permettent de calculer la limite d'une suite à partir des limites de référence : n, n², n³, √n tendent vers +∞ et 1/n, 1/n², 1/n³, 1/√n tendent vers 0.

Dans tout le chapitre, (u_n) et (v_n) sont deux suites, ℓ et ℓ' sont deux nombres réels. Toutes les limites sont prises quand n tend vers +∞. Les règles sont admises.

Dans les tableaux, « F.I. » signifie « forme indéterminée » : on ne peut pas conclure directement (voir le 4).

1) Limite d'une somme

lim u_n	lim v_n	lim (u_n + v_n)
ℓ	ℓ'	ℓ + ℓ'
ℓ	+∞	+∞
ℓ	−∞	−∞
+∞	+∞	+∞
−∞	−∞	−∞
+∞	−∞	F.I.

lim_n→+∞ n² = +∞ et lim_n→+∞ 1/n = 0, donc lim_n→+∞ (n² + 1/n) = +∞.

lim_n→+∞ 1/√n = 0, donc lim_n→+∞ (3 + 1/√n) = 3 + 0 = 3.

lim_n→+∞ (−n) = −∞ et lim_n→+∞ (−n³) = −∞, donc lim_n→+∞ (−n − n³) = −∞.

2) Limite d'un produit

lim u_n	lim v_n	lim (u_n × v_n)
ℓ	ℓ'	ℓ × ℓ'
ℓ > 0	+∞	+∞
ℓ > 0	−∞	−∞
ℓ < 0	+∞	−∞
ℓ < 0	−∞	+∞
+∞	+∞	+∞
−∞	−∞	+∞
+∞	−∞	−∞
0	+∞ ou −∞	F.I.

Pour les limites infinies, on applique la règle des signes d'un produit.

En particulier, si k est une constante réelle non nulle et si (u_n) tend vers +∞, alors (k u_n) tend vers +∞ si k > 0 et vers −∞ si k < 0.

lim_n→+∞ n² = +∞ et −3 < 0, donc lim_n→+∞ (−3n²) = −∞.

lim_n→+∞ (2 + 1/n) = 2 et lim_n→+∞ (n + 5) = +∞, donc lim_n→+∞ (2 + 1/n)(n + 5) = +∞.

lim_n→+∞ 1/n = 0 et lim_n→+∞ (5 − 1/n) = 5, donc lim_n→+∞ (1/n)(5 − 1/n) = 0 × 5 = 0.

3) Limite d'un quotient

On suppose que v_n ≠ 0 pour tout n.

Dans le tableau, « 0 en restant positive » signifie que (v_n) tend vers 0 et que v_n > 0 à partir d'un certain rang. De même pour « 0 en restant négative ».

lim u_n	lim v_n	lim (u_n / v_n)
ℓ	ℓ' ≠ 0	ℓ / ℓ'
ℓ	+∞ ou −∞	0
+∞	ℓ' > 0	+∞
+∞	ℓ' < 0	−∞
−∞	ℓ' > 0	−∞
−∞	ℓ' < 0	+∞
ℓ > 0 ou +∞	0 en restant positive	+∞
ℓ > 0 ou +∞	0 en restant négative	−∞
ℓ < 0 ou −∞	0 en restant positive	−∞
ℓ < 0 ou −∞	0 en restant négative	+∞
0	0	F.I.
+∞ ou −∞	+∞ ou −∞	F.I.

lim_n→+∞ (n² + 1) = +∞, donc lim_n→+∞ 5/(n² + 1) = 0.

lim_n→+∞ (n + √n) = +∞ et lim_n→+∞ (2 − 1/n) = 2 > 0, donc lim_n→+∞ (n + √n)/(2 − 1/n) = +∞.

La suite (1/n) tend vers 0 en restant positive, et lim_n→+∞ (−2) = −2 < 0, donc lim_n→+∞ (−2)/(1/n) = −∞. On le vérifie directement : (−2)/(1/n) = −2n.

4) Formes indéterminées

Il y a quatre formes indéterminées : « ∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞/∞ » et « 0/0 ».

Dans ces cas, les tableaux ne permettent pas de conclure. Cela ne veut pas dire que la suite n'a pas de limite, mais que la limite dépend des suites choisies.

Forme « ∞ − ∞ » : les suites (n + 1), (n²) et (n) tendent vers +∞, et pourtant :

(n + 1) − n = 1, qui tend vers 1 ;

n − n² = n(1 − n), qui tend vers −∞ (produit d'une suite tendant vers +∞ par une suite tendant vers −∞).

Forme « 0 × ∞ » : les suites (1/n) et (1/n²) tendent vers 0, les suites (n) et (n²) tendent vers +∞, et pourtant :

(1/n) × n² = n, qui tend vers +∞ ;

(1/n) × n = 1, qui tend vers 1 ;

(1/n²) × n = 1/n, qui tend vers 0.

Pour lever une indétermination, on transforme l'écriture de u_n. Voici les deux méthodes les plus utilisées.

a) Factoriser par le terme de plus haut degré

Soit la suite (u_n)_n≥1 définie par u_n = n² − 3n.

On a lim_n→+∞ n² = +∞ et lim_n→+∞ (−3n) = −∞ : c'est une forme indéterminée « ∞ − ∞ ».

Pour tout n ≥ 1, on factorise par n² :

u_n = n²(1 − 3n/n²) = n²(1 − 3/n).

lim_n→+∞ 3/n = 0, donc lim_n→+∞ (1 − 3/n) = 1.

lim_n→+∞ n² = +∞ et 1 > 0, donc par produit lim_n→+∞ u_n = +∞.

Soit la suite (v_n)_n≥1 définie par v_n = (2n² + 1)/(n² + n) = $\frac{2 n^{2} + 1}{n^{2} + n}$ .

Le numérateur et le dénominateur tendent vers +∞ : c'est une forme indéterminée « ∞/∞ ».

Pour tout n ≥ 1, on factorise le numérateur et le dénominateur par n² :

v_n = $\frac{n^{2} (2 + \frac{1}{n^{2}})}{n^{2} (1 + \frac{1}{n})} = \frac{2 + \frac{1}{n^{2}}}{1 + \frac{1}{n}}$ .

lim_n→+∞ (2 + 1/n²) = 2 et lim_n→+∞ (1 + 1/n) = 1, donc par quotient lim_n→+∞ v_n = 2/1 = 2.

Vérification à la calculatrice : v₁₀₀₀ = 2 000 001/1 001 000 ≈ 1,998.

Soit la suite (w_n)_n≥2 définie par w_n = (3n + 1)/(n² − 2) = $\frac{3 n + 1}{n^{2} - 2}$ .

C'est encore une forme indéterminée « ∞/∞ ». Pour tout n ≥ 2, on factorise le numérateur par n et le dénominateur par n² :

w_n = $\frac{n (3 + \frac{1}{n})}{n^{2} (1 - \frac{2}{n^{2}})} = \frac{1}{n} \times \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 - \frac{2}{n^{2}}}$ .

lim_n→+∞ (3 + 1/n) = 3 et lim_n→+∞ (1 − 2/n²) = 1, donc le deuxième facteur tend vers 3.

lim_n→+∞ 1/n = 0, donc par produit lim_n→+∞ w_n = 0 × 3 = 0.

Remarque : ces exemples montrent qu'une somme de puissances de n a la même limite que son terme de plus haut degré, et qu'un quotient a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré. Mais il faut savoir refaire la factorisation pour le justifier.

b) Utiliser la quantité conjuguée

Quand l'expression contient des racines carrées, on peut multiplier et diviser par la quantité conjuguée, en utilisant (a − b)(a + b) = a² − b².

Soit la suite (u_n)_n≥0 définie par u_n = √(n + 1) − √n.

lim_n→+∞ √(n + 1) = +∞ et lim_n→+∞ √n = +∞ : c'est une forme indéterminée « ∞ − ∞ ».

Pour tout n ≥ 0, √(n + 1) + √n > 0, donc :

u_n = $\frac{(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{(n + 1) - n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ .

lim_n→+∞ (√(n + 1) + √n) = +∞, donc par quotient lim_n→+∞ u_n = 0.

Vérification à la calculatrice : u_{1 000 000} ≈ 0,0005.

Les exercices du chapitre VI bis du cours de Première, signalés hors programme en Première, sont des applications directes de ce chapitre. Par exemple, pour l'exercice VI bis.3, on peut factoriser 5n³ − 3n² − 5n − 7 par n³, et pour l'exercice VI bis.4, factoriser le numérateur par n² et le dénominateur par n.

Exercices

Exercice IX.1

Déterminer la limite des suites suivantes, définies pour tout n ≥ 1 :

a) u_n = (2 − 1/n)(n² + 3) ;

b) v_n = 7/(n² + 1) − 3 ;

c) w_n = (n + √n)/(3 + 1/n).

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Exercice IX.2

Lever l'indétermination et déterminer la limite des suites suivantes, définies pour tout n ≥ 1 :

a) u_n = 4n³ − 5n² + 1 ;

b) v_n = (5n² − n)/(2n² + 3) = $\frac{5 n^{2} - n}{2 n^{2} + 3}$ ;

c) w_n = (1 − n²)/(n + 2) = $\frac{1 - n^{2}}{n + 2}$ .

Voir la correction

Exercice IX.3

1) Soit la suite (u_n)_n≥0 définie par u_n = √(n + 2) − √n. Déterminer sa limite à l'aide de la quantité conjuguée.

2) Soit la suite (v_n)_n≥1 définie par v_n = √(n² + n) − n.

a) Montrer que pour tout n ≥ 1, v_n = $\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$ .

b) Montrer que pour tout réel x ≥ 0, 1 ≤ √(1 + x) ≤ 1 + x. En déduire que la suite (√(1 + 1/n)) converge vers 1.

c) Déterminer la limite de la suite (v_n). Vérifier à la calculatrice avec n = 1000.

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Corrections

Correction de l'exercice IX.1

a) lim_n→+∞ 1/n = 0, donc lim_n→+∞ (2 − 1/n) = 2.

lim_n→+∞ n² = +∞, donc lim_n→+∞ (n² + 3) = +∞.

Par produit, avec 2 > 0, lim_n→+∞ u_n = +∞.

b) lim_n→+∞ (n² + 1) = +∞, donc par quotient lim_n→+∞ 7/(n² + 1) = 0.

Par somme, lim_n→+∞ v_n = 0 − 3 = −3.

c) lim_n→+∞ n = +∞ et lim_n→+∞ √n = +∞, donc par somme lim_n→+∞ (n + √n) = +∞.

lim_n→+∞ (3 + 1/n) = 3 > 0.

Par quotient, lim_n→+∞ w_n = +∞.

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Correction de l'exercice IX.2

a) lim_n→+∞ 4n³ = +∞ et lim_n→+∞ (−5n²) = −∞ : c'est une forme indéterminée « ∞ − ∞ ».

Pour tout n ≥ 1, on factorise par n³ :

u_n = n³(4 − 5/n + 1/n³).

lim_n→+∞ 5/n = 0 et lim_n→+∞ 1/n³ = 0, donc lim_n→+∞ (4 − 5/n + 1/n³) = 4.

lim_n→+∞ n³ = +∞ et 4 > 0, donc par produit lim_n→+∞ u_n = +∞.

b) Le numérateur et le dénominateur tendent vers +∞ (pour le numérateur, on le voit en écrivant 5n² − n = n(5n − 1)) : c'est une forme indéterminée « ∞/∞ ».

Pour tout n ≥ 1, on factorise par n² :

v_n = $\frac{n^{2} (5 - \frac{1}{n})}{n^{2} (2 + \frac{3}{n^{2}})} = \frac{5 - \frac{1}{n}}{2 + \frac{3}{n^{2}}}$ .

lim_n→+∞ (5 − 1/n) = 5 et lim_n→+∞ (2 + 3/n²) = 2, donc par quotient lim_n→+∞ v_n = 5/2.

c) lim_n→+∞ (1 − n²) = −∞ et lim_n→+∞ (n + 2) = +∞ : c'est une forme indéterminée « ∞/∞ ».

Pour tout n ≥ 1, on factorise le numérateur par n² et le dénominateur par n :

w_n = $\frac{n^{2} (\frac{1}{n^{2}} - 1)}{n (1 + \frac{2}{n})} = n \times \frac{\frac{1}{n^{2}} - 1}{1 + \frac{2}{n}}$ .

lim_n→+∞ (1/n² − 1) = −1 et lim_n→+∞ (1 + 2/n) = 1, donc le deuxième facteur tend vers −1.

lim_n→+∞ n = +∞ et −1 < 0, donc par produit lim_n→+∞ w_n = −∞.

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Correction de l'exercice IX.3

1) C'est une forme indéterminée « ∞ − ∞ ». Pour tout n ≥ 0, √(n + 2) + √n > 0, donc :

u_n = $\frac{(\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}) (\sqrt{n + 2} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}} = \frac{(n + 2) - n}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}$ .

lim_n→+∞ (√(n + 2) + √n) = +∞, donc par quotient lim_n→+∞ u_n = 0.

2) a) Pour tout n ≥ 1, √(n² + n) + n > 0, donc :

v_n = $\frac{(\sqrt{n^{2} + n} - n) (\sqrt{n^{2} + n} + n)}{\sqrt{n^{2} + n} + n} = \frac{n^{2} + n - n^{2}}{\sqrt{n^{2} + n} + n} = \frac{n}{\sqrt{n^{2} + n} + n}$ .

Pour tout n ≥ 1, n > 0, donc √(n² + n) = √(n²(1 + 1/n)) = n√(1 + 1/n). D'où :

v_n = $\frac{n}{n \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + n} = \frac{n}{n (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$ .

b) Soit x ≥ 0. On a 1 + x ≥ 1, donc √(1 + x) ≥ √1 = 1.

D'autre part, (1 + x)² = 1 + 2x + x² ≥ 1 + x, car x + x² ≥ 0. Les nombres √(1 + x) et 1 + x sont positifs et le carré de 1 + x est supérieur ou égal à 1 + x, qui est le carré de √(1 + x). Donc √(1 + x) ≤ 1 + x.

Avec x = 1/n, on obtient pour tout n ≥ 1 :

1 ≤ √(1 + 1/n) ≤ 1 + 1/n, d'où 0 ≤ √(1 + 1/n) − 1 ≤ 1/n.

Soit ε > 0. Pour tout n > 1/ε, on a 1/n < ε, donc |√(1 + 1/n) − 1| < ε. D'après la définition du chapitre VIII, la suite (√(1 + 1/n)) converge vers 1.

c) lim_n→+∞ (√(1 + 1/n) + 1) = 1 + 1 = 2, donc par quotient lim_n→+∞ v_n = 1/2.

À la calculatrice : v₁₀₀₀ = √1 001 000 − 1000 ≈ 0,49988.

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