Suites arithmético-géométriques

Dans une suite arithmétique, on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre. Dans une suite géométrique, on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.

Il arrive très souvent que l'on fasse les deux à la fois : on multiplie, puis on ajoute. C'est le cas des populations, des abonnements, des emprunts… On obtient alors une suite arithmético-géométrique.

Définition

On appelle suite arithmético-géométrique une suite (u_n) définie par son premier terme u₀ et, pour tout entier naturel n, par la relation u_n+1 = a × u_n + b, où a et b sont deux nombres réels avec a ≠ 1 et b ≠ 0.

Pourquoi exclure a = 1 et b = 0 ? Parce que ce sont deux cas que nous connaissons déjà.

Si a = 1, la relation devient u_n+1 = u_n + b : on ajoute toujours b, la suite est arithmétique de raison b.

Si b = 0, la relation devient u_n+1 = a × u_n : on multiplie toujours par a, la suite est géométrique de raison a.

Une suite arithmético-géométrique mélange donc les deux idées, d'où son nom.

Un exemple pour commencer

Un lac contient 1 000 poissons. Chaque année, 20 % des poissons disparaissent (pêche, maladies, prédateurs), puis on introduit 300 nouveaux poissons.

On note u_n le nombre de poissons au bout de n années. On a donc u₀ = 1 000.

Perdre 20 % des poissons revient à en garder 80 %, c'est-à-dire à multiplier par 0,8. On ajoute ensuite les 300 poissons introduits.

Pour tout entier naturel n, on a donc :

u_n+1 = 0,8 × u_n + 300.

C'est une suite arithmético-géométrique avec a = 0,8 et b = 300.

Calculons les premiers termes :

u₁ = 0,8 × 1 000 + 300 = 800 + 300 = 1 100 ;

u₂ = 0,8 × 1 100 + 300 = 880 + 300 = 1 180 ;

u₃ = 0,8 × 1 180 + 300 = 944 + 300 = 1 244 ;

u₄ = 0,8 × 1 244 + 300 = 995,2 + 300 = 1 295,2.

Le modèle donne parfois des nombres décimaux : au bout de 4 ans, il y a environ 1 295 poissons.

En continuant à la calculatrice, on trouve u₁₀ ≈ 1 446,3 et u₁₅ ≈ 1 482,4.

Le nombre de poissons augmente, mais de moins en moins vite. On « voit » que la suite s'approche de 1 500, sans jamais l'atteindre.

Le graphique ci-dessous représente les points (n ; u_n) pour n allant de 0 à 15.

Les points (n ; u_n) de la suite des poissons, pour n allant de 0 à 15 : ils montent de moins en moins vite et se rapprochent de la droite d'équation y = 1 500 (en pointillés). L'axe vertical commence à 900.

Nous allons maintenant voir une méthode qui permet de trouver ce nombre 1 500 par le calcul, et d'obtenir une formule qui donne directement u_n en fonction de n.

La méthode

1) Le point fixe

Cherchons un nombre ℓ qui ne bouge pas quand on lui applique la relation, c'est-à-dire tel que :

ℓ = a × ℓ + b.

Si la suite partait de ce nombre, elle resterait constante. On l'appelle le point fixe.

Résolvons l'équation x = ax + b :

x − ax = b ;

(1 − a)x = b ;

x = b / (1 − a), ce qui est possible car a ≠ 1.

Le point fixe de la suite u_n+1 = a × u_n + b est $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ .

Pour les poissons, a = 0,8 et b = 300, donc :

ℓ = 300 / (1 − 0,8) = 300 / 0,2 = 1 500.

Vérifions : 0,8 × 1 500 + 300 = 1 200 + 300 = 1 500. S'il y avait 1 500 poissons, les 300 poissons perdus (20 % de 1 500) seraient exactement remplacés par les 300 poissons introduits.

2) La suite auxiliaire

L'idée est de regarder l'écart entre u_n et le point fixe ℓ. On pose, pour tout entier naturel n :

v_n = u_n − ℓ.

La suite (v_n) définie par v_n = u_n − ℓ est géométrique de raison a.

Démontrons-le pas à pas. Pour tout entier naturel n :

v_n+1 = u_n+1 − ℓ (définition de v_n+1) ;

v_n+1 = (a × u_n + b) − ℓ (relation de récurrence) ;

v_n+1 = (a × u_n + b) − (a × ℓ + b) (car ℓ = aℓ + b) ;

v_n+1 = a × u_n − a × ℓ (les b s'annulent) ;

v_n+1 = a × (u_n − ℓ) = a × v_n.

On passe donc de v_n à v_n+1 en multipliant par a : la suite (v_n) est géométrique de raison a et de premier terme v₀ = u₀ − ℓ.

3) La formule explicite

Comme (v_n) est géométrique, on sait que pour tout entier naturel n :

v_n = v₀ × aⁿ = (u₀ − ℓ) × aⁿ.

Et comme u_n = v_n + ℓ, on obtient :

Pour tout entier naturel n, u_n = ℓ + (u₀ − ℓ) × aⁿ, avec ℓ = b / (1 − a).

Revenons aux poissons : ℓ = 1 500 et u₀ = 1 000.

La suite v_n = u_n − 1 500 est géométrique de raison 0,8 et de premier terme v₀ = 1 000 − 1 500 = −500.

D'où v_n = −500 × 0,8ⁿ et, pour tout entier naturel n :

u_n = 1 500 − 500 × 0,8ⁿ.

Vérifions avec u₃ : 0,8³ = 0,512, donc u₃ = 1 500 − 500 × 0,512 = 1 500 − 256 = 1 244. On retrouve bien la valeur calculée plus haut.

Cette formule permet de calculer directement un terme lointain, sans calculer tous ceux d'avant. Par exemple, au bout de 20 ans :

u₂₀ = 1 500 − 500 × 0,8²⁰ ≈ 1 500 − 5,8 ≈ 1 494,2.

Pour étudier une suite u_n+1 = a × u_n + b, on procède en trois étapes :

on calcule le point fixe ℓ = b / (1 − a) ;
on montre que v_n = u_n − ℓ est géométrique de raison a ;
on écrit v_n = (u₀ − ℓ) × aⁿ, puis u_n = ℓ + (u₀ − ℓ) × aⁿ.

Limite d'une suite arithmético-géométrique

Dans la formule u_n = ℓ + (u₀ − ℓ) × aⁿ, seul le facteur aⁿ dépend de n. Tout dépend donc de ce que devient aⁿ quand n devient très grand (voir la page limite de qⁿ).

Si u₀ = ℓ, la suite est constante, égale à ℓ. Dans la suite, on suppose u₀ ≠ ℓ.

Si −1 < a < 1, alors aⁿ tend vers 0 et la suite (u_n) converge vers le point fixe ℓ.

Si a > 1, alors aⁿ tend vers +∞ ; la suite (u_n) tend vers +∞ si u₀ > ℓ, et vers −∞ si u₀ < ℓ.

Enfin, si a ≤ −1, les termes changent de côté par rapport à ℓ à chaque rang sans s'en rapprocher : la suite n'a pas de limite.

Pour les poissons, a = 0,8 et −1 < 0,8 < 1 : 0,8ⁿ tend vers 0, donc 500 × 0,8ⁿ tend vers 0 et u_n tend vers 1 500.

À long terme, le nombre de poissons se stabilise autour de 1 500. De plus, 500 × 0,8ⁿ est toujours positif, donc u_n < 1 500 pour tout n : la limite n'est jamais atteinte, comme le montre le graphique.

Le cours de terminale reprend ces résultats de façon plus complète, avec le théorème du point fixe : voir la page suites récurrentes et limites.

Algorithme de seuil

Au bout de combien d'années le lac contiendra-t-il plus de 1 450 poissons ? On peut répondre avec un petit programme qui calcule les termes un par un, tant que le seuil n'est pas dépassé.

n = 0
u = 1000
while u <= 1450:
    u = 0.8 * u + 300
    n = n + 1
print(n)

Le programme affiche 11.

Vérifions avec la formule : u_n > 1 450 revient à 1 500 − 500 × 0,8ⁿ > 1 450, c'est-à-dire 500 × 0,8ⁿ < 50, ou encore 0,8ⁿ < 0,1.

Or 0,8¹⁰ ≈ 0,107 et 0,8¹¹ ≈ 0,086, donc u₁₀ ≈ 1 446,3 et u₁₁ ≈ 1 457,1.

Le lac contient plus de 1 450 poissons à partir de la 11^e année. Comme la suite est croissante, il en reste ensuite toujours plus de 1 450.

Application : le remboursement d'un emprunt

Reprenons l'exemple de la page amortissement par mensualités : une personne emprunte 185 000 € au taux nominal de 4,5 % par an, remboursés en 240 mensualités égales (20 ans).

Le taux mensuel est t = 0,045 / 12 = 0,00375.

Notons C_n le capital restant dû au bout de n mois, avec C₀ = 185 000, et m la mensualité. Chaque mois, le capital restant dû augmente des intérêts (on multiplie par 1 + t), puis on retranche la mensualité :

C_n+1 = (1 + t) × C_n − m.

C'est une suite arithmético-géométrique avec a = 1 + t = 1,00375 et b = −m.

Son point fixe est :

ℓ = −m / (1 − (1 + t)) = −m / (−t) = m / t.

D'après la formule explicite, pour tout entier n :

C_n = m / t + (C₀ − m / t) × (1 + t)ⁿ.

L'emprunt est remboursé quand le capital restant dû est nul au bout de N = 240 mois : C_N = 0. On obtient :

m / t + (C₀ − m / t) × (1 + t)^N = 0 ;

m / t − (m / t) × (1 + t)^N = −C₀ × (1 + t)^N ;

(m / t) × [(1 + t)^N − 1] = C₀ × (1 + t)^N.

D'où la formule de la mensualité :

$m = C_{0} \times t \times \frac{{(1 + t)}^{N}}{{(1 + t)}^{N} - 1}$ .

C'est exactement la formule obtenue sur la page des mensualités, mais trouvée ici sans calculer la somme des termes d'une suite géométrique.

Avec C₀ = 185 000, t = 0,00375 et N = 240 :

1,00375²⁴⁰ ≈ 2,455 47 ;

m = 185 000 × 0,00375 × 1,00375²⁴⁰ / (1,00375²⁴⁰ − 1) ;

m ≈ 693,75 × 2,455 47 / 1,455 47 ≈ 1 170,40 €.

On retrouve bien la mensualité de 1 170,40 €.

Vérifions le premier mois : C₁ = 1,00375 × 185 000 − 1 170,40 = 185 693,75 − 1 170,40 = 184 523,35 €.

Remarquons que, pour cette suite, a = 1,00375 > 1 et C₀ < ℓ (ℓ = m / t ≈ 312 107). Si l'on prolongeait la suite au-delà de 240 mois, elle tendrait vers −∞ : le capital restant dû diminue de plus en plus vite et s'annule exactement au 240^e mois.

Exercices

Exercice 1

Soit la suite (u_n) définie par u₀ = 20 et, pour tout entier naturel n, u_n+1 = 0,5 × u_n + 6.

1) Calculer u₁, u₂ et u₃.

2) Calculer le point fixe ℓ de cette suite.

3) Exprimer u_n en fonction de n.

4) Déterminer la limite de la suite (u_n).

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Exercice 2

Soit la suite (u_n) définie par u₀ = 1 et, pour tout entier naturel n, u_n+1 = 2 × u_n − 3.

1) Calculer u₁, u₂ et u₃.

2) On pose v_n = u_n − 3. Montrer que la suite (v_n) est géométrique.

3) Exprimer u_n en fonction de n.

4) Que devient u_n quand n devient très grand ?

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Exercice 3

Le 1^er janvier, une personne place 1 000 € sur un compte rémunéré à 2 % par an (intérêts composés). Chaque année, après le versement des intérêts, elle ajoute 500 € sur le compte.

On note u_n la somme sur le compte au bout de n années, avec u₀ = 1 000.

1) Justifier que pour tout entier naturel n, u_n+1 = 1,02 × u_n + 500. Calculer u₁ et u₂.

2) Calculer le point fixe ℓ, puis exprimer u_n en fonction de n.

3) Quelle somme y aura-t-il sur le compte au bout de 10 ans ? Quel est le montant total des intérêts ?

4) Déterminer la limite de la suite (u_n).

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Corrections

Correction de l'exercice 1

1) u₁ = 0,5 × 20 + 6 = 10 + 6 = 16 ;

u₂ = 0,5 × 16 + 6 = 8 + 6 = 14 ;

u₃ = 0,5 × 14 + 6 = 7 + 6 = 13.

2) Ici a = 0,5 et b = 6, donc ℓ = 6 / (1 − 0,5) = 6 / 0,5 = 12.

Vérification : 0,5 × 12 + 6 = 6 + 6 = 12.

3) La suite v_n = u_n − 12 est géométrique de raison 0,5 et de premier terme v₀ = 20 − 12 = 8.

D'où v_n = 8 × 0,5ⁿ et u_n = 12 + 8 × 0,5ⁿ.

Vérification : u₃ = 12 + 8 × 0,125 = 12 + 1 = 13.

4) Comme −1 < 0,5 < 1, 0,5ⁿ tend vers 0, donc u_n tend vers 12.

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Correction de l'exercice 2

1) u₁ = 2 × 1 − 3 = −1 ;

u₂ = 2 × (−1) − 3 = −5 ;

u₃ = 2 × (−5) − 3 = −13.

2) Le point fixe est ℓ = −3 / (1 − 2) = −3 / (−1) = 3, c'est pourquoi on pose v_n = u_n − 3.

Pour tout entier naturel n :

v_n+1 = u_n+1 − 3 = 2 × u_n − 3 − 3 = 2 × u_n − 6 = 2 × (u_n − 3) = 2 × v_n.

La suite (v_n) est donc géométrique de raison 2 et de premier terme v₀ = 1 − 3 = −2.

3) v_n = −2 × 2ⁿ, d'où u_n = 3 − 2 × 2ⁿ.

Vérification : u₃ = 3 − 2 × 8 = 3 − 16 = −13.

4) Ici a = 2 > 1 : 2ⁿ devient aussi grand que l'on veut, donc 2 × 2ⁿ aussi. Comme u₀ = 1 < ℓ = 3, la suite (u_n) tend vers −∞.

Les termes s'éloignent de plus en plus du point fixe 3 : u₄ = −29, u₅ = −61…

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Correction de l'exercice 3

1) Un placement à 2 % par an revient à multiplier la somme par 1,02 chaque année ; on ajoute ensuite les 500 € versés. Donc u_n+1 = 1,02 × u_n + 500.

u₁ = 1,02 × 1 000 + 500 = 1 020 + 500 = 1 520 € ;

u₂ = 1,02 × 1 520 + 500 = 1 550,40 + 500 = 2 050,40 €.

2) Ici a = 1,02 et b = 500, donc ℓ = 500 / (1 − 1,02) = 500 / (−0,02) = −25 000.

Le point fixe est négatif : il n'a pas de sens concret, mais la méthode s'applique quand même.

La suite v_n = u_n + 25 000 est géométrique de raison 1,02 et de premier terme v₀ = 1 000 + 25 000 = 26 000.

D'où u_n = −25 000 + 26 000 × 1,02ⁿ.

Vérification : u₁ = −25 000 + 26 000 × 1,02 = −25 000 + 26 520 = 1 520.

3) u₁₀ = −25 000 + 26 000 × 1,02¹⁰ ≈ −25 000 + 26 000 × 1,218 99 ≈ 6 693,85 €.

La personne a versé 1 000 + 10 × 500 = 6 000 €. Les intérêts s'élèvent donc à environ 6 693,85 − 6 000 = 693,85 €.

4) Ici a = 1,02 > 1 et u₀ = 1 000 > ℓ = −25 000, donc la suite (u_n) tend vers +∞ : la somme sur le compte augmente sans limite.

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