Dans l'ensemble des réels l'équation x² = −1 ne possède pas de solution. On part du postulat qu'il existe un nombre (non réel évidement ) dont le carré soit égal à −1. On notera ce nombre i tel que i² = −1.
On veut construire un ensemble E vérifiant les propriétés suivantes :
- E contient l'ensemble des réels ℜ
- E est muni d'une addition qui prolonge celle de ℜ et et d'une multiplication qui prolonge celle de ℜ.
C'est-à-dire pour tous réels a,b qui sont donc éléments de E, leurs somme (respectivement leur produit) pour l'addition (respectivement leur multiplication) dans ℜ est égale à leur somme (respectivement leur produit) pour + (respectivement × ) dans ℜ.
- Les propriétés de + et × dans E sont les mêmes que celles de + et × dans ℜ.
- E contient le nombre i.
S'il existe un ensemble E, comme définie ci-dessus, on a les propriétés suivantes :
1. ∀ (a,b) ∈ ℜ² , b ∈ E, a ∈ E (par définition car E contientℜ) et i ∈ E donc ib ∈ E
donc ∀ (a,b) ∈ ℜ² , a + ib ∈ E.
2. ∀ (a,b,a',b') ∈ ℜ4 , (a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + i(b + b') on a (a + a') ∈ ℜ et (b + b') ∈ ℜ
3. ∀ (a,b,a',b') ∈ ℜ4 , (a + ib) × (a' + ib') en développant on obtient :
(a + ib) × (a' + ib') = aa' + iab' + iba' + i²bb' = (aa' − bb') + i(ab' + ba') car i² = −1
on a (aa' − bb') ∈ ℜ et (ab' + ba') ∈ ℜ
On notera ¢ l'ensemble des nombres de la forme a + ib avec a,b réels.
On identifie l'ensemble des complexes ¢ à ℜ² = ℜ × ℜ car le nombre a + ib ∈ ¢ est déterminé par (a,b) ∈ ℜ².