Nature des nombres complexes

Les nombres complexes sont aujourd'hui étudiés en Terminale, dans l'option mathématiques expertes.

Construction de l'ensemble des nombres complexes

Dans l'ensemble des réels, l'équation x² = −1 ne possède pas de solution. On part du postulat qu'il existe un nombre (non réel évidemment) dont le carré soit égal à −1. On notera ce nombre i tel que i² = −1.

On veut construire un ensemble E vérifiant les propriétés suivantes :

E contient l'ensemble des réels ℝ.
E est muni d'une addition qui prolonge celle de ℝ et d'une multiplication qui prolonge celle de ℝ.
C'est-à-dire : pour tous réels a, b, qui sont donc éléments de E, leur somme (respectivement leur produit) pour l'addition (respectivement la multiplication) dans E est égale à leur somme (respectivement leur produit) pour + (respectivement ×) dans ℝ.
Les propriétés de + et × dans E sont les mêmes que celles de + et × dans ℝ.
E contient le nombre i.

S'il existe un ensemble E comme défini ci-dessus, on a les propriétés suivantes :

1. ∀ (a,b) ∈ ℝ², b ∈ E, a ∈ E (par définition, car E contient ℝ) et i ∈ E, donc ib ∈ E ;

donc ∀ (a,b) ∈ ℝ², a + ib ∈ E.

2. ∀ (a,b,a',b') ∈ ℝ⁴, (a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + i(b + b') et on a (a + a') ∈ ℝ et (b + b') ∈ ℝ.

3. ∀ (a,b,a',b') ∈ ℝ⁴, (a + ib) × (a' + ib') en développant on obtient :

(a + ib) × (a' + ib') = aa' + iab' + iba' + i²bb' = (aa' − bb') + i(ab' + ba') car i² = −1 ;

on a (aa' − bb') ∈ ℝ et (ab' + ba') ∈ ℝ.

On notera ℂ l'ensemble des nombres de la forme a + ib avec a, b réels.

On identifie l'ensemble des complexes ℂ à ℝ² = ℝ × ℝ car le nombre a + ib ∈ ℂ est déterminé par (a,b) ∈ ℝ².

1) Unicité de l'écriture a + ib

Soient a, b, a', b' quatre réels. Si a + ib = a' + ib', alors a = a' et b = b'.

Autrement dit, un nombre complexe s'écrit d'une seule façon sous la forme a + ib avec a et b réels.

Démonstration

Supposons que a + ib = a' + ib'. On regroupe les termes :

a − a' = ib' − ib = i(b' − b).

Si b ≠ b', on peut diviser par le réel b' − b, non nul :

i = (a − a') / (b' − b).

Le quotient (a − a') / (b' − b) est un réel, donc i serait un réel. C'est impossible, car le carré d'un réel est positif ou nul, alors que i² = −1.

Donc b = b'. L'égalité a − a' = i(b' − b) devient a − a' = i × 0 = 0, d'où a = a'.

Cherchons les réels x et y tels que (x + 1) + i(2y) = 3 − 4i.

Par unicité de l'écriture, on identifie les parties sans i et les coefficients de i :

x + 1 = 3 et 2y = −4 ;

donc x = 2 et y = −2.

2) Partie réelle, partie imaginaire

Soit z = a + ib un nombre complexe, avec a et b réels. L'écriture a + ib est la forme algébrique de z. Le réel a est la partie réelle de z, notée Re(z). Le réel b est la partie imaginaire de z, notée Im(z).

D'après le 1), Re(z) et Im(z) sont bien définis : ils ne dépendent pas de la façon d'écrire z.

Pour z = 3 − 2i, on a Re(z) = 3 et Im(z) = −2.

Attention : la partie imaginaire est le réel −2, et non pas −2i.

Pour z = 5, on a Re(z) = 5 et Im(z) = 0.

Pour z = 4i, on a Re(z) = 0 et Im(z) = 4.

Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle s'écrit z = ib avec b réel : on dit que z est un imaginaire pur.

L'ensemble des imaginaires purs est noté iℝ. Le nombre 0 = 0 + 0i est à la fois réel et imaginaire pur.

Soit z un nombre complexe :

z est réel si, et seulement si, Im(z) = 0 ;
z est imaginaire pur si, et seulement si, Re(z) = 0.

On en déduit aussi que deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

3) Représentation dans le plan

On munit le plan d'un repère orthonormé direct (O ; u⃗, v⃗). Puisqu'un nombre complexe a + ib est déterminé par le couple de réels (a ; b), on peut lui associer un point du plan.

À tout nombre complexe z = a + ib, avec a et b réels, on associe le point M de coordonnées (a ; b). On dit que M est le point image de z et que z est l'affixe du point M. On note souvent M(z).

De même, z est l'affixe du vecteur w⃗ de coordonnées (a ; b).

Le plan muni de ce repère s'appelle le plan complexe. L'axe des abscisses est l'axe réel : il contient les points images des nombres réels. L'axe des ordonnées est l'axe imaginaire : il contient les points images des imaginaires purs.

Plaçons les points A, B et C d'affixes respectives z_A = 3 + 2i, z_B = −2 + i et z_C = −2i.

A a pour coordonnées (3 ; 2), B a pour coordonnées (−2 ; 1) et C a pour coordonnées (0 ; −2).

Le point C est sur l'axe imaginaire, car −2i est un imaginaire pur.

Les points A(3 + 2i), B(−2 + i) et C(−2i) dans le plan complexe.

Inversement, on lit sur le graphique l'affixe d'un point : son abscisse donne la partie réelle et son ordonnée donne la partie imaginaire.

4) Plan de la rubrique

Les pages de la rubrique « Nombres complexes » sont les suivantes :

forme algébrique : calculs dans ℂ, conjugué, inverse et quotient ;
module et argument d'un nombre complexe ;
formes trigonométrique et exponentielle ;
équations du second degré dans ℂ ;
racines n-ièmes de l'unité ;
complexes et suites ;
exercices sur les nombres complexes.