Suite arithmétique : définition et propriétés

On appelle progression par différence ou suite arithmétique une suite de nombres telle que la différence entre deux termes consécutifs est constante.

Le nombre constant, qui est ajouté à chaque terme pour obtenir le suivant, est nommé raison de la suite arithmétique.

Formation d'un terme de rang quelconque d'une suite arithmétique

Il n'est pas nécessaire de connaître les termes précédents d'une suite arithmétique pour trouver le terme d'un rang donné. En effet, soit a le premier terme d'une suite arithmétique de raison r.

Le 1^er terme étant a,

le 2^e terme sera a + r ;

le 3^e terme a + 2r ;

le 4^e terme a + 3r, etc.

Ainsi le 2^e est égal au 1^er plus la raison ;

le 3^e est égal au 1^er plus 2 fois la raison ;

le 4^e est égal au 1^er plus 3 fois la raison, etc.

On en déduit que le n-ième terme est : $a+(n-1)\times r$.

Le n-ième terme d'une suite arithmétique est égal à la somme du premier terme et du produit de la raison par (n − 1).

Le n-ième terme de la suite est donc donné par la formule suivante : $a+r(n-1)$.

Définition des suites arithmétiques

En notant u_n le terme de la progression de rang n, on obtient l'écriture suivante : $u_n=a+r(n-1)$.

De cette façon, on a u₁ = a, u₂ = a + r, u₃ = a + 2r et donc u_n = a + (n − 1)r.

Attention, il arrive que le premier terme soit u₀. Dans ce cas, la formule devient :

$u_n=a+rn$.

De cette façon, on a u₀ = a, u₁ = a + r, u₂ = a + 2r et donc u_n = a + nr.

Propriétés des suites arithmétiques

$P_1:u_{n+p}=u_n+pr$.

$P_2:u_{n+p}=a+r\times (n+p-1)$ (lorsque le premier terme est u₁ = a).

$P_3$ : les réels a, b et c, dans cet ordre, sont 3 termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si b est la moyenne arithmétique des nombres a et c, c'est-à-dire si $2b=a+c$.

Monotonie d'une suite arithmétique

Calculer en ligne

Entrez le premier terme u₀, la raison et le rang n : le calculateur donne le terme u_n et la somme des termes de u₀ à u_n.