XIII Suites récurrentes u_n+1 = ƒ(u_n) et limites

Au chapitre XI, nous avons vu comment montrer qu'une suite récurrente converge, avec le théorème de la limite monotone. Mais ce théorème ne donne pas la valeur de la limite.

Dans ce chapitre, nous apprenons à calculer cette limite, grâce au théorème du point fixe.

1) Théorème du point fixe

On dit que ℓ est un point fixe de ƒ : c'est une solution de l'équation ƒ(x) = x.

Idée de la démonstration : si u_n tend vers ℓ, alors u_n+1 tend aussi vers ℓ. Comme ƒ est continue en ℓ, ƒ(u_n) tend vers ƒ(ℓ). Or u_n+1 = ƒ(u_n), et une suite ne peut pas avoir deux limites différentes, donc ƒ(ℓ) = ℓ.

Attention : le théorème suppose que la suite converge. Il faut d'abord démontrer que la suite converge (par exemple avec le théorème de la limite monotone), et seulement ensuite résoudre ƒ(x) = x.

2) Méthode complète sur un exemple

Reprenons la suite de l'exemple 1 du chapitre VII :

u₀ = −1 et pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 = $\frac{3+2u_n}{2+u_n}$.

Pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 = ƒ(u_n) avec ƒ(x) = (3 + 2x) / (2 + x), définie sur ℝ \ {−2}.

a) Étude de la fonction ƒ

ƒ est dérivable sur ]−2 ; +∞[ et pour tout x > −2,

ƒ'(x) = [2(2 + x) − (3 + 2x) × 1] / (2 + x)² = 1 / (2 + x)² > 0.

Donc ƒ est strictement croissante sur ]−2 ; +∞[, et en particulier sur [−1 ; +∞[.

b) Points fixes et intervalle stable

Cherchons les solutions de ƒ(x) = x pour x > −2 :

(3 + 2x) / (2 + x) = x ⇔ 3 + 2x = x(2 + x) ⇔ 3 + 2x = 2x + x² ⇔ x² = 3 ⇔ x = √3 ou x = −√3.

Or −√3 ≈ −1,732 et √3 ≈ 1,732. Vérifions : ƒ(√3) = (3 + 2√3) / (2 + √3) = √3(√3 + 2) / (2 + √3) = √3.

Calculons aussi ƒ(−1) = (3 − 2) / (2 − 1) = 1.

Soit I = [−1 ; √3]. ƒ est croissante sur I, donc pour tout x ∈ I, ƒ(−1) ≤ ƒ(x) ≤ ƒ(√3), c'est-à-dire 1 ≤ ƒ(x) ≤ √3.

D'où ƒ(I) ⊂ [1 ; √3] ⊂ I : l'intervalle I est stable par ƒ (voir le chapitre V).

c) Monotonie et encadrement par récurrence

Soit l'énoncé P(n) de variable n suivant : « −1 ≤ u_n ≤ u_n+1 ≤ √3 », montrons qu'il est vrai pour tout entier n ≥ 0.

Récurrence :

i) u₀ = −1 et u₁ = ƒ(−1) = 1, donc −1 ≤ u₀ ≤ u₁ ≤ √3 et P(0) est vrai.

ii) Soit p un entier ≥ 0 tel que P(p) soit vrai, nous avons donc par hypothèse −1 ≤ u_p ≤ u_p+1 ≤ √3.

ƒ est croissante sur I et les nombres −1, u_p, u_p+1, √3 sont dans I, donc :

ƒ(−1) ≤ ƒ(u_p) ≤ ƒ(u_p+1) ≤ ƒ(√3) ;

d'où 1 ≤ u_p+1 ≤ u_p+2 ≤ √3 ;

d'où −1 ≤ u_p+1 ≤ u_p+2 ≤ √3.

Donc P(p+1) est vrai.

Conclusion : pour tout n ∈ ℕ, −1 ≤ u_n ≤ u_n+1 ≤ √3. La suite est croissante et majorée par √3.

d) Convergence

La suite (u_n) est croissante et majorée, donc d'après le théorème de la limite monotone (chapitre XI), elle converge vers un réel ℓ.

Comme −1 ≤ u_n ≤ √3 pour tout n, en passant à la limite, −1 ≤ ℓ ≤ √3.

e) Calcul de la limite

ƒ est une fonction rationnelle définie sur ℝ \ {−2}, donc continue sur ]−2 ; +∞[, donc continue en ℓ puisque ℓ ≥ −1.

D'après le théorème du point fixe, ƒ(ℓ) = ℓ, donc ℓ = √3 ou ℓ = −√3.

Or ℓ ≥ −1 > −√3, donc ℓ = √3.

Conclusion : lim_n→+∞ u_n = √3.

Les premiers termes vont bien dans ce sens : u₀ = −1 ; u₁ = 1 ; u₂ = 5/3 ≈ 1,667 ; u₃ = 19/11 ≈ 1,727 ; u₄ = 71/41 ≈ 1,7317 ; et √3 ≈ 1,7321.

3) Démonstration d'une conjecture du chapitre III

Au chapitre III, nous avons étudié la suite (u_n)_n≥0 définie par :

u₀ = 1 et pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 = φ(u_n) = $\frac{u_n}{3}+2$, avec φ(x) = x/3 + 2.

La lecture du graphique nous avait conduits à penser que la suite est strictement croissante, majorée par 3, et que lim_n→+∞ u_n = 3. Cette conjecture n'avait pas été démontrée : nous allons maintenant le faire.

a) Vérification numérique

Les termes augmentent et se rapprochent de 3, sans le dépasser : les calculs confirment la conjecture, mais ne la démontrent pas.

b) La suite est strictement croissante et majorée par 3

La fonction φ : x ↦ x/3 + 2 est affine de coefficient 1/3 > 0, donc elle est strictement croissante sur ℝ. De plus φ(3) = 3/3 + 2 = 3.

Soit l'énoncé P(n) de variable n suivant : « u_n < u_n+1 < 3 », montrons qu'il est vrai pour tout entier n ≥ 0.

Récurrence :

i) u₀ = 1 et u₁ = 7/3 ≈ 2,333, donc u₀ < u₁ < 3 et P(0) est vrai.

ii) Soit p un entier ≥ 0 tel que P(p) soit vrai, nous avons donc par hypothèse u_p < u_p+1 < 3.

φ est strictement croissante sur ℝ, donc elle conserve les inégalités strictes :

φ(u_p) < φ(u_p+1) < φ(3) ;

d'où u_p+1 < u_p+2 < 3.

Donc P(p+1) est vrai.

Conclusion : pour tout n ∈ ℕ, u_n < u_n+1 < 3. La suite est strictement croissante et majorée par 3 : la première partie de la conjecture est démontrée.

c) La suite converge vers 3

La suite (u_n) est croissante et majorée par 3, donc d'après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel ℓ.

La fonction φ est affine, donc continue sur ℝ, en particulier en ℓ. D'après le théorème du point fixe, φ(ℓ) = ℓ :

ℓ/3 + 2 = ℓ ;

d'où 2 = ℓ − ℓ/3 = 2ℓ/3 ;

d'où ℓ = 3.

Conclusion : lim_n→+∞ u_n = 3. La conjecture du chapitre III est démontrée.

Nous retrouvons l'abscisse du point A(3 ; 3), intersection de la droite y = x/3 + 2 et de la droite y = x.

Le paragraphe suivant donne une deuxième démonstration, avec une formule explicite de u_n.

4) Suites arithmético-géométriques

Ces suites ont aussi leur propre page, avec d'autres exemples (population, emprunt) : suites arithmético-géométriques.

Une suite (u_n)_n≥0 est arithmético-géométrique s'il existe deux réels a et b tels que pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 = a u_n + b.

Si a = 1, la suite est arithmétique de raison b ; si b = 0, elle est géométrique de raison a. Nous supposons maintenant a ≠ 1.

a) Le point fixe

La fonction ƒ est ici ƒ(x) = ax + b. Cherchons la solution de ƒ(x) = x :

ax + b = x ⇔ b = x − ax ⇔ b = (1 − a)x ⇔ x = b / (1 − a), car a ≠ 1.

Notons ℓ = $\frac{b}{1-a}$. Nous avons donc aℓ + b = ℓ.

b) La suite auxiliaire

Si a ≠ 1 et ℓ = b / (1 − a), la suite (v_n) définie par v_n = u_n − ℓ est géométrique de raison a. Pour tout n ∈ ℕ, u_n = ℓ + (u₀ − ℓ) × aⁿ.

Démonstration

Pour tout n ∈ ℕ,

v_n+1 = u_n+1 − ℓ = (a u_n + b) − (aℓ + b) car ℓ = aℓ + b ;

v_n+1 = a u_n − aℓ = a(u_n − ℓ) = a v_n.

La suite (v_n) est donc géométrique de raison a et de premier terme v₀ = u₀ − ℓ, d'où pour tout n ∈ ℕ, v_n = (u₀ − ℓ) × aⁿ.

Et u_n = v_n + ℓ = ℓ + (u₀ − ℓ) × aⁿ.

c) Limite selon a

D'après le chapitre XII sur la limite de aⁿ, avec u₀ ≠ ℓ :

• si −1 < a < 1, lim_n→+∞ aⁿ = 0 donc lim_n→+∞ u_n = ℓ ;
• si a > 1, la suite tend vers +∞ si u₀ > ℓ et vers −∞ si u₀ < ℓ ;
• si a ≤ −1, la suite n'a pas de limite.

Si u₀ = ℓ, la suite est constante égale à ℓ, comme nous l'avons vu au chapitre VI.

Exercices

Exercice XIII.1

On reprend la suite de l'exercice XI.2 : u₀ = 2 et pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 = 2u_n / (1 + u_n).

On a démontré que pour tout n ∈ ℕ, 1 ≤ u_n+1 ≤ u_n ≤ 2, et que la suite converge vers un réel ℓ.

Calculer ℓ.

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Exercice XIII.2

Une revue compte 1000 abonnés au départ. Chaque année, 10 % des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et 300 nouveaux abonnés s'inscrivent. On note u_n le nombre d'abonnés au bout de n années, avec u₀ = 1000.

1) Justifier que pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 = 0,9 u_n + 300.

2) On pose v_n = u_n − 3000. Montrer que (v_n) est géométrique, puis exprimer u_n en fonction de n.

3) Déterminer la limite de la suite (u_n).

4) Écrire un programme qui affiche le nombre d'années au bout duquel le nombre d'abonnés dépasse 2900, et donner le résultat.

Voir la correction

Exercice XIII.3

Soit la suite (u_n)_n≥0 définie par u₀ = 0 et pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 = −0,5 u_n + 3.

1) Calculer u₁, u₂, u₃, u₄. La suite est-elle monotone ?

2) Exprimer u_n en fonction de n.

3) Déterminer la limite de la suite.

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Corrections

Correction de l'exercice XIII.1

Soit ƒ(x) = 2x / (1 + x). ƒ est une fonction rationnelle définie sur ℝ \ {−1}, donc continue sur [0 ; +∞[.

Comme 1 ≤ u_n ≤ 2 pour tout n, en passant à la limite, 1 ≤ ℓ ≤ 2. Donc ƒ est continue en ℓ.

D'après le théorème du point fixe, ƒ(ℓ) = ℓ :

2ℓ / (1 + ℓ) = ℓ ;

d'où 2ℓ = ℓ(1 + ℓ) = ℓ + ℓ² (car 1 + ℓ ≠ 0) ;

d'où ℓ² − ℓ = 0, c'est-à-dire ℓ(ℓ − 1) = 0 ;

d'où ℓ = 0 ou ℓ = 1.

Comme ℓ ≥ 1, nous avons ℓ = 1.

Conclusion : lim_n→+∞ u_n = 1, ce que laissaient prévoir les premiers termes 2 ; 1,333 ; 1,143 ; 1,067 ; 1,032.

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Correction de l'exercice XIII.2

1) Perdre 10 % des abonnés revient à multiplier par 0,9 ; on ajoute ensuite les 300 nouveaux abonnés. Donc u_n+1 = 0,9 u_n + 300.

2) La suite est arithmético-géométrique avec a = 0,9 et b = 300 ; son point fixe est ℓ = 300 / (1 − 0,9) = 300 / 0,1 = 3000.

Pour tout n ∈ ℕ,

v_n+1 = u_n+1 − 3000 = 0,9 u_n + 300 − 3000 = 0,9 u_n − 2700 = 0,9(u_n − 3000) = 0,9 v_n.

La suite (v_n) est géométrique de raison 0,9 et de premier terme v₀ = 1000 − 3000 = −2000.

D'où v_n = −2000 × 0,9ⁿ et u_n = 3000 − 2000 × 0,9ⁿ.

3) −1 < 0,9 < 1, donc lim_n→+∞ 0,9ⁿ = 0 et lim_n→+∞ u_n = 3000.

À long terme, le nombre d'abonnés se rapproche de 3000.

4) Un programme possible :

n = 0
u = 1000
while u <= 2900:
    u = 0.9 * u + 300
    n = n + 1
print(n)

Le programme affiche 29.

Vérifions avec la formule : u_n > 2900 ⇔ 2000 × 0,9ⁿ < 100 ⇔ 0,9ⁿ < 0,05. Or 0,9²⁸ ≈ 0,0523 et 0,9²⁹ ≈ 0,0471, donc u₂₈ ≈ 2895 et u₂₉ ≈ 2906.

Le nombre d'abonnés dépasse 2900 au bout de 29 années. La suite (0,9ⁿ) est décroissante, donc (u_n) est croissante et le nombre d'abonnés reste ensuite au-dessus de 2900.

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Correction de l'exercice XIII.3

1) u₁ = −0,5 × 0 + 3 = 3 ;

u₂ = −0,5 × 3 + 3 = 1,5 ;

u₃ = −0,5 × 1,5 + 3 = 2,25 ;

u₄ = −0,5 × 2,25 + 3 = 1,875.

Nous avons u₀ < u₁ et u₁ > u₂ : la suite n'est ni croissante ni décroissante, elle n'est pas monotone.

La fonction ƒ(x) = −0,5x + 3 est décroissante : la construction graphique tourne autour du point d'intersection avec la droite y = x, c'est une construction « en escargot ».

2) La suite est arithmético-géométrique avec a = −0,5 et b = 3, donc ℓ = 3 / (1 − (−0,5)) = 3 / 1,5 = 2.

La suite v_n = u_n − 2 est géométrique de raison −0,5 et de premier terme v₀ = 0 − 2 = −2.

D'où pour tout n ∈ ℕ, u_n = 2 − 2 × (−0,5)ⁿ.

Vérifions : u₃ = 2 − 2 × (−0,125) = 2 + 0,25 = 2,25.

On retrouve que la suite n'est pas monotone : u_n+1 − u_n = −2 × (−0,5)ⁿ⁺¹ + 2 × (−0,5)ⁿ = 2 × (−0,5)ⁿ × (0,5 + 1) = 3 × (−0,5)ⁿ, qui change de signe à chaque rang.

3) −1 < −0,5 < 1, donc lim_n→+∞ (−0,5)ⁿ = 0 et lim_n→+∞ u_n = 2.

La suite converge vers 2 sans être monotone : le théorème de la limite monotone ne s'applique pas ici, c'est la formule explicite qui permet de conclure.

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