VIII Limite d'une suite

Dans le chapitre XI du cours de Première, nous avons observé de façon intuitive le comportement des termes u_n quand n devient grand : les suites (n²), (1/n), (2 + 1/n) et ((−1)ⁿ).

Dans ce chapitre, nous donnons les définitions précises. Nous retrouvons les mêmes exemples, et nous calculons à partir de quel rang les termes vérifient une condition donnée.

Dans tout le chapitre, (u_n) est une suite à termes réels. On ne parle de limite que lorsque n tend vers +∞.

1) Suite tendant vers +∞ ou vers −∞

a) Suite tendant vers +∞

Autrement dit : pour tout réel A, il existe un entier N tel que, pour tout entier n ≥ N, on a u_n > A.

Le rang N dépend de A : plus A est grand, plus il faut aller loin dans la suite.

Remarque : une suite qui tend vers +∞ n'est pas majorée (voir le chapitre V).

En effet, si M était un majorant, l'intervalle ]M ; +∞[ devrait contenir tous les termes à partir d'un certain rang, alors qu'il n'en contient aucun.

La réciproque est fausse. La suite définie par u_n = n si n est pair et u_n = 0 si n est impair n'est pas majorée. Mais elle ne tend pas vers +∞ : l'intervalle ]1 ; +∞[ ne contient aucun terme de rang impair.

b) Suite tendant vers −∞

Comme u_n < B ⇔ −u_n > −B, la suite (u_n) tend vers −∞ si et seulement si la suite (−u_n) tend vers +∞.

2) Suite convergente

a) Définition

Tout intervalle ouvert contenant ℓ contient un intervalle de la forme ]ℓ − ε ; ℓ + ε[, avec ε un réel > 0. Il suffit donc de vérifier :

pour tout réel ε > 0, il existe un entier N tel que, pour tout entier n ≥ N, ℓ − ε < u_n < ℓ + ε, c'est-à-dire |u_n − ℓ| < ε.

La distance |u_n − ℓ| entre u_n et ℓ devient aussi petite que l'on veut. On retrouve la définition de la convergence vers 0 du chapitre VII du cours de Première : la suite (u_n) converge vers ℓ si et seulement si la suite (u_n − ℓ) converge vers 0.

b) Unicité de la limite

Si une suite converge, sa limite est unique.

Démonstration

Supposons que la suite (u_n) converge à la fois vers ℓ et vers ℓ', avec ℓ < ℓ'.

Posons d = ℓ' − ℓ, on a d > 0. Considérons les intervalles ouverts I = ]ℓ − d/3 ; ℓ + d/3[ et J = ]ℓ' − d/3 ; ℓ' + d/3[.

On a (ℓ' − d/3) − (ℓ + d/3) = d − 2d/3 = d/3 > 0, donc ℓ + d/3 < ℓ' − d/3 : les intervalles I et J n'ont aucun point commun.

Comme (u_n) converge vers ℓ, il existe un rang N₁ à partir duquel tous les termes sont dans I.

Comme (u_n) converge vers ℓ', il existe un rang N₂ à partir duquel tous les termes sont dans J.

Soit n un entier supérieur à N₁ et à N₂. Le terme u_n est à la fois dans I et dans J, ce qui est impossible.

Donc ℓ = ℓ' : la limite est unique.

c) Suite divergente

Comme en Première, une suite peut diverger de deux façons :

• elle tend vers +∞ ou vers −∞ ;
• elle n'a pas de limite du tout.

3) Limites de référence

Démonstration

Les limites de n², √n et 1/n ont été démontrées dans les exemples précédents.

Suite (n) : soit A un réel et N le premier entier strictement supérieur à A. Pour tout n ≥ N, on a n > A. Donc lim_n→+∞ n = +∞.

Suite (n³) : pour tout entier n ≥ 1, n³ = n × n² ≥ n. Soit A un réel et N le premier entier ≥ 1 strictement supérieur à A. Pour tout n ≥ N, on a n³ ≥ n > A. Donc lim_n→+∞ n³ = +∞.

Suites (1/n²) et (1/n³) : pour tout entier n ≥ 1, on a n³ ≥ n² ≥ n, d'où 0 < 1/n³ ≤ 1/n² ≤ 1/n. Soit ε > 0. À partir du rang où 1/n < ε, on a aussi 0 < 1/n² < ε et 0 < 1/n³ < ε. Donc ces deux suites convergent vers 0.

Suite (1/√n) : soit ε > 0. Pour tout n ≥ 1, 1/√n < ε ⇔ √n > 1/ε ⇔ n > 1/ε². À partir du premier entier strictement supérieur à 1/ε², tous les termes sont dans ]−ε ; ε[. Donc lim_n→+∞ 1/√n = 0.

Par exemple, 1/√n < 10⁻² dès que n > 10 000.

Suite constante : si u_n = c pour tout n, alors tout intervalle ouvert contenant c contient tous les termes, dès le premier rang.

Ces limites de référence servent de base pour les opérations sur les limites (chapitre IX).

4) Algorithme de seuil

Si la suite (u_n) tend vers +∞, alors pour tout réel A il existe des rangs n tels que u_n > A. Un algorithme de seuil cherche le plus petit de ces rangs.

Cherchons le plus petit entier n tel que n² > 10⁶. On part de n = 0 et on ajoute 1 à n tant que n² ≤ 10⁶.

n = 0
while n**2 <= 10**6:
    n = n + 1
print(n)

Le programme affiche 1001.

Vérifions : 1000² = 1 000 000, qui n'est pas strictement supérieur à 10⁶ ; et 1001² = 1 002 001 > 10⁶. Comme la suite (n²) est croissante, on a aussi n² > 10⁶ pour tout n ≥ 1001.

De même, la suite (1/n) converge vers 0. Cherchons le plus petit entier n ≥ 1 tel que 1/n < 10⁻³.

n = 1
while 1 / n >= 0.001:
    n = n + 1
print(n)

Le programme affiche 1001. En effet, 1/1000 = 0,001 n'est pas strictement inférieur à 0,001, et 1/1001 ≈ 0,000999 < 0,001.

Remarque : l'algorithme donne le premier rang où la condition est vérifiée. Pour affirmer que tous les termes suivants la vérifient aussi, il faut une information de plus, par exemple la monotonie de la suite (voir le chapitre VI).

Exercices

Exercice VIII.1

Soit la suite (u_n)_n≥0 définie par u_n = 5 − 2n.

1) Déterminer à partir de quel rang on a u_n < −1000.

2) Démontrer, avec la définition, que la suite (u_n) tend vers −∞.

Voir la correction

Exercice VIII.2

Soit la suite (v_n)_n≥1 définie par v_n = (n + 3)/n = $\frac{n+3}{n}$.

1) Vérifier que pour tout n ≥ 1, v_n = 1 + 3/n.

2) Déterminer à partir de quel rang v_n appartient à l'intervalle ]0,99 ; 1,01[.

3) Démontrer, avec la définition, que la suite (v_n) converge vers 1.

Voir la correction

Exercice VIII.3

Soit la suite (w_n)_n≥1 définie par w_n = 1/n².

1) Écrire un programme Python qui affiche le plus petit entier n ≥ 1 tel que w_n < 10⁻⁴.

2) Retrouver ce résultat par le calcul.

3) Justifier que w_n < 10⁻⁴ pour tous les entiers n supérieurs à ce rang.

Voir la correction

Corrections

Correction de l'exercice VIII.1

1) Pour tout entier n ≥ 0 :

5 − 2n < −1000 ⇔ −2n < −1005 ⇔ n > 502,5.

On a donc u_n < −1000 à partir du rang 503.

Vérification : u₅₀₂ = 5 − 1004 = −999 et u₅₀₃ = 5 − 1006 = −1001.

2) Soit B un réel quelconque. Pour tout entier n ≥ 0 :

5 − 2n < B ⇔ −2n < B − 5 ⇔ n > (5 − B)/2.

Soit N le premier entier ≥ 0 strictement supérieur à (5 − B)/2. Pour tout n ≥ N, on a u_n < B.

L'intervalle ]−∞ ; B[ contient donc tous les termes à partir du rang N, et cela pour tout réel B. Donc lim_n→+∞ u_n = −∞.

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Correction de l'exercice VIII.2

1) Pour tout n ≥ 1 :

v_n = (n + 3)/n = n/n + 3/n = 1 + 3/n.

2) Pour tout n ≥ 1, v_n − 1 = 3/n > 0, donc v_n > 1 > 0,99. Il reste à résoudre v_n < 1,01 :

1 + 3/n < 1,01 ⇔ 3/n < 0,01 ⇔ n > 300.

Les termes v_n sont dans ]0,99 ; 1,01[ à partir du rang 301. On a v₃₀₀ = 1,01, qui n'est pas dans l'intervalle ouvert, et v₃₀₁ ≈ 1,00997.

3) Soit ε un réel > 0. Pour tout n ≥ 1, |v_n − 1| = 3/n et :

3/n < ε ⇔ n > 3/ε.

Soit N le premier entier strictement supérieur à 3/ε. Pour tout n ≥ N, on a |v_n − 1| < ε, donc v_n ∈ ]1 − ε ; 1 + ε[.

Tout intervalle ouvert contenant 1 contient un tel intervalle ]1 − ε ; 1 + ε[, donc il contient tous les termes à partir d'un certain rang. Donc lim_n→+∞ v_n = 1.

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Correction de l'exercice VIII.3

1) On part de n = 1 et on ajoute 1 à n tant que 1/n² ≥ 10⁻⁴.

n = 1
while 1 / n**2 >= 0.0001:
    n = n + 1
print(n)

Le programme affiche 101.

2) Pour tout n ≥ 1, n² > 0, donc :

1/n² < 10⁻⁴ ⇔ n² > 10⁴ ⇔ n > 100.

Le plus petit entier qui convient est bien 101. On a w₁₀₀ = 1/10 000 = 10⁻⁴, qui n'est pas strictement inférieur à 10⁻⁴, et w₁₀₁ = 1/10 201 ≈ 0,000098.

3) Pour tout entier n ≥ 101, on a n² ≥ 101² = 10 201, donc w_n = 1/n² ≤ 1/10 201 < 10⁻⁴.

On retrouve ainsi que la suite (w_n) converge vers 0, comme annoncé dans les limites de référence.

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