Quand un capital est placé à intérêts composés, l'intérêt produit à la fin de la première année est ajouté au capital, ce qui forme un deuxième capital qui produit un intérêt pendant la deuxième année.
Cet intérêt ajouté à son capital forme un troisième capital qui produit un intérêt pendant cette troisième année; cet intérêt s'ajoute à son capital et ainsi de suite.
De là nous allons déduire une expression très simple pour la valeur acquise par un capital placé à intérêts composées.
Rappelons d' abord cette règle :
Soit un capital de 862 € placé à 5%.
Les intérêts de 1€ au bout de 1 an étant de 0,05 €, un capital de 1€ prend une valeur égale à 1,05 € et un capital de 862€ vaut 862 multiplié par 1,05 c' est à dire :
862 × 1,05
ce qui démontre la règle énoncée.
Soit maintenant un capital C placé pendant 5 ans. Prenons pour le taux , non pas l'intérêt pour 100 €, mais celui de 1€ et soit r l'intérêt annuel de 1€.
Au bout de la première année, la valeur acquise par le capital C est de :
C × (1 + r).
Ce nouveau capital au bout de la deuxième année prend une valeur égale à :
C × (1 + r) × (1 + r) = C × (1 + r)2.
Ce dernier capital au bout de la 3ème année prend une valeur égale à :
C × (1 + r)2 × (1 + r) = C × (1 + r)3.
On voit, sans répéter ces explications, que la valeur serait :
au bout de la 4ème année, C × (1 + r)4;
au bout de la 5ème année, C × (1 + r)5 .
De là la règle :
Pour trouver la valeur acquise par capital placé à intérêts composés, au bout d'un certain nombre d'années, il faut multiplier ce capital par 1 augmenté de l'intérêt annuel de 1 €, élevé à une puissance d'un degré marqué par le nombre d'années.
Si on représente par n le nombre des années et par A la valeur acquise par le capital C, la règle précédente est exprimée par cette formule :
`A = C × (1+ r)^n`. [ i ]
Par exemple, la valeur la valeur acquise par 862€ au bout de 5 années à 4% serait
862 × 1,045 = 1048,75.
CONSEQUENCES
La formule [ i ] permet de résoudre trois autres problèmes.
1) Pour trouver le capital qui a pris une valeur connue au bout d'un certain nombre d'années, il faut diviser cette valeur par 1 augmenté de l'intérêt annuel de 1 €, élevé à une puissance d'un degré marqué par le nombre des années.
En effet, de la formule [ i ] on obtient :
`C = A / (1 + r)^n`.
On aura
C = 1048,70 / 1,045 = 862.
2) Trouver le taux r auquel un capital C a pris au bout de n années une valeur A.
De la formule [i] on obtient :
`(1 + r)^n = A/C` d'où `r + 1 = (A/C)^{1/n}`
r = (1048,70 / 862)1/5 − 1 = 0,04.
3) Trouver le nombre d' année n au bout duquel un capital de 862€ a pris une valeur égale à 1048,70, le taux étant de 4%.
On a d' abord
(1 + r)n = A/C
n log (1+ r) = log A − log C
d' où
`n = (log A − log C) / log (1 + r)`.
REMARQUE :
Si on demandait au bout de combien d'années un capital C a été doublé au taux de r, il faudrait remplacer A par 2C dans la formule [ i ]. On aurait ainsi :
2C = C × (1 + r)n
d' où 2 = (1 + r)n.
De là on obtient :
n log (1 + r) = log 2
`n = log 2 / log (1+ r)`.