La somme des cubes des n premiers entiers

La suite des cubes des n premiers entiers est 1, 8, 27, 64, 125, …, n³.

Elle peut encore s'écrire sous la forme 1³, 2³, 3³, 4³, …, (n − 1)³, n³.

Nous pouvons définir les 4 notations suivantes : S_n, S_n⁽²⁾, S_n⁽³⁾ et S_n⁽⁴⁾. Attention : le nombre entre parenthèses n'est pas un exposant ; il indique la puissance à laquelle sont élevés les nombres que l'on additionne.

S_n est la somme des n premiers entiers. S_n = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n.

S_n⁽²⁾ est la somme des n premiers carrés. S_n⁽²⁾ = 1² + 2² + 3² + 4² + … + n².

S_n⁽³⁾ est la somme des n premiers cubes. S_n⁽³⁾ = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + n³.

S_n⁽⁴⁾ est la somme des n premières puissances quatrièmes. S_n⁽⁴⁾ = 1⁴ + 2⁴ + 3⁴ + 4⁴ + … + n⁴.

Cherchons une formule pour la somme des n premiers cubes.

La méthode est identique à celle employée pour la somme des n premiers carrés : il faut utiliser le développement du terme (n + 1)⁴, qui donne :

(n + 1)⁴ = (n + 1)(n + 1)³ = (n + 1)(n³ + 3n² + 3n + 1) = n⁴ + 4n³ + 6n² + 4n + 1.

En appliquant cette formule à chaque puissance quatrième, de (n + 1)⁴ jusqu'à 1⁴, on obtient les égalités suivantes :

(n + 1)⁴ = n⁴ + 4n³ + 6n² + 4n + 1 ;

n⁴ = (n − 1)⁴ + 4 (n − 1)³ + 6 (n − 1)² + 4(n − 1) + 1 ;

…

…

(2)⁴ = (1)⁴ + 4 (1)³ + 6(1)² + 4(1) + 1 ;

(1)⁴ = (0)⁴ + 4 (0)³ + 6(0)² + 4(0) + 1.

En effectuant la somme membre à membre des égalités précédentes, en utilisant les notations définies plus haut, on obtient :

S_n+1⁽⁴⁾ = S_n⁽⁴⁾ + 4S_n⁽³⁾ + 6S_n⁽²⁾ + 4S_n + n + 1.

Or S_n+1⁽⁴⁾ − S_n⁽⁴⁾ = (n + 1)⁴. Alors on a :

(n + 1)⁴ = 4S_n⁽³⁾ + 6S_n⁽²⁾ + 4S_n + n + 1 ;

4S_n⁽³⁾ = (n + 1)⁴ − 6S_n⁽²⁾ − 4S_n − n − 1.

Or, S_n = 1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2 et S_n⁽²⁾ = 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6. D'où :

4S_n⁽³⁾ = (n + 1)⁴ − 6 × n(n + 1)(2n + 1) / 6 − 4 × n(n + 1) / 2 − (n + 1) ;

4S_n⁽³⁾ = (n + 1)⁴ − n(n + 1)(2n + 1) − 2n(n + 1) − (n + 1).

On met (n + 1) en facteur :

4S_n⁽³⁾ = (n + 1)[(n + 1)³ − n(2n + 1) − 2n − 1] ;

4S_n⁽³⁾ = (n + 1)[n³ + 3n² + 3n + 1 − 2n² − n − 2n − 1] ;

4S_n⁽³⁾ = (n + 1)(n³ + n²) ;

4S_n⁽³⁾ = (n + 1) × n²(n + 1) ;

4S_n⁽³⁾ = n²(n + 1)².

On remarque aussi que :

S_n⁽³⁾ = [n(n + 1) / 2]².

On peut poursuivre en posant (comme notation) P_n = 2³ + 4³ + 6³ + … + (2n)³.

Comme (2k)³ = 2³ × k³, on en déduit que la somme des cubes des n premiers entiers pairs est :

P_n = 2³ × 1³ + 2³ × 2³ + … + 2³ × n³ ;

P_n = 2³ × (1³ + 2³ + … + n³) ;

P_n = 8 × n²(n + 1)² / 4 = 2n²(n + 1)².

On peut poursuivre en posant (comme notation) I_n = 1³ + 3³ + 5³ + … + (2n − 1)³.

De même, on obtient la somme des cubes des n premiers entiers impairs en retirant les cubes des nombres pairs de la somme des cubes de 1 à 2n, c'est-à-dire I_n = S_2n⁽³⁾ − P_n :

I_n = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + (2n)³ − [2³ + 4³ + 6³ + … + (2n)³] ;

I_n = (2n)²(2n + 1)² / 4 − [2n²(n + 1)²] ;

I_n = n²(2n + 1)² − 2n²(n + 1)² ;

I_n = n²[(2n + 1)² − 2(n + 1)²] ;

I_n = n²[4n² + 4n + 1 − 2n² − 4n − 2] ;

I_n = n²(2n² − 1).