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La somme des cubes des n premiers entiers

La suite des cubes des n premiers entiers est 1, 8 , 27, 64, 125, ... , n3.

Elle peut encore s'écrire sous la forme 13, 23, 33, 43, ... , (n−1)3, n3.

Nous pouvons définir 4 notations suivantes : Sn , Sn2 , Sn3 et Sn4.

Sn la somme des n premiers entiers. Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... ... + n.

Sn2 la somme des n premiers carrés. Sn2 = 12 + 22 + 32 + 42 + ... ... + n2.

Sn3 la somme des n premiers cubes. Sn3 = 13 + 23 + 33 + 43 + ... ... + n3.

Sn4 la somme des n premières puissances quatrièmes. Sn4 = 14 + 24 + 34 + 44 + ... ... + n4.

 

Cherchons une formule pour la somme des n premiers cubes.

La méthode est identique à celle employée pour la somme des n premiers carrés, il faut utiliser le développement du terme (n + 1)4 qui donne :

(n +1)4 = (n +1) (n +1)3 = (n +1) (n3 + 3n2 + 3n + 1) = n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1.

En appliquant cette formule à chaque cube de (n + 1) à 1, on obtient les égalités suivantes :

(n + 1)4 = n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1

n4 = (n − 1)4 + 4 (n − 1)3 + 6 (n − 1)2 + 4(n − 1) + 1

...

...

(2)4 = (1)4 + 4 (1)3 + 6(1)2 + 4(1) + 1

(1)4 = (0)4 + 4 (0)3 + 6(0)2 + 4(0) + 1

En effectuant la somme membre à membre des égalités précédentes, en utilisant les notations définies plus haut, on obtient :

Sn+14 = Sn4 + 4Sn3 + 6Sn2 + 4Sn + n + 1

Alors on a :

(n + 1)4 = 4Sn3 + 6Sn2 + 4Sn + n + 1

4Sn3 = (n + 1)4 − 6Sn2 − 4Sn − n − 1

Or, Sn = 1 + 2 + ... + n = n (n + 1) / 2 et 12 + 22 + 32 + 42 + ... ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6 .

Après toutes les simplifications possibles, on obtient :

4Sn3 = n2 (n + 1)2 .

La formule pour la somme des cubes des n premiers est donc :

`1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ... ... + n^3 = {n^2 (n + 1)^2} / 4`

 

On remarque aussi que :

Sn3 = [ n (n + 1) / 2 ]2

La somme des n premiers cubes est égale à la somme des n premiers entiers élevé le tout au carré.

c'est-à-dire que :

`1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ... + n^3 ` = ` (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)^2`

 

On peut poursuivre en posant (comme notation) S2n3 = 23 + 43 + 63 + ... ... + (2n)3

On en déduit donc que la somme des cubes des n premiers entiers pairs est :

S2n3 = 23.13 + 23.23 + ... ... + 23.n3

S2n3 = 23 (13 + 23 + ... ... + n3)

S2n3 = 8 × n2 (n + 1)2 / 4 = 2 × n2 (n + 1)2.

La somme des cubes des n premiers entiers pairs est :

`2^3 + 4^3 + 6^3 + ... + (2n)^3 ` = ` 2n^2 (n + 1)^2`

 

On peut poursuivre en posant (comme notation) S2n−13 = 13 + 33 + 53 + ... ... + (2n − 1)3

De même, la somme des cubes des n premiers entiers impairs est

S2n−13 = 13 + 23 + 33 + 43 + ... ... + (2n)3 − [ 23 + 43 + 63 + ... ... + (2n)3 ]

S2n−13 = 4 n2 (2 n + 1)2 / 4 − [ 2n2(n + 1)2 ]

S2n−13 = n2 (2 n + 1)2 − 2n2(n + 1)2

S2n−13 = n2[ (2 n + 1)2 − 2 (n + 1)2 ]

S2n−13 = n2 [ 4n2 + 4n + 1 − 2n2 − 4n − 2 ]

S2n−13 = n2 [ 2n2 − 1 ]

La somme des cubes des n premiers entiers impairs est :

`1^3 + 3^3 + 5^3 + ... + (2n − 1)^3 ` = ` n^2 (2n^2 − 1)`