Suites en mathématiques

Somme des cubes des n premiers entiers

La somme des cubes des n premiers entiers

La suite des cubes des n premiers entiers est 1, 8 , 27, 64, 125, ... , n³.

Elle peut encore s'écrire sous la forme 1³, 2³, 3³, 4³, ... , (n−1)³, n³.

Nous pouvons définir 4 notations suivantes : S_n , S_n² , S_n³ et S_n⁴.

S_n la somme des n premiers entiers. S_n = 1 + 2 + 3 + 4 + ... ... + n.

S_n² la somme des n premiers carrés. S_n² = 1² + 2² + 3² + 4² + ... ... + n².

S_n³ la somme des n premiers cubes. S_n³ = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + ... ... + n³.

S_n⁴ la somme des n premières puissances quatrièmes. S_n⁴ = 1⁴ + 2⁴ + 3⁴ + 4⁴ + ... ... + n⁴.

Cherchons une formule pour la somme des n premiers cubes.

La méthode est identique à celle employée pour la somme des n premiers carrés, il faut utiliser le développement du terme (n + 1)⁴ qui donne :

(n +1)⁴ = (n +1) (n +1)³ = (n +1) (n³ + 3n² + 3n + 1) = n⁴ + 4n³ + 6n² + 4n + 1.

En appliquant cette formule à chaque cube de (n + 1) à 1, on obtient les égalités suivantes :

(n + 1)⁴ = n⁴ + 4n³ + 6n² + 4n + 1

n⁴ = (n − 1)⁴ + 4 (n − 1)³ + 6 (n − 1)² + 4(n − 1) + 1

...

...

(2)⁴ = (1)⁴ + 4 (1)³ + 6(1)² + 4(1) + 1

(1)⁴ = (0)⁴ + 4 (0)³ + 6(0)² + 4(0) + 1

En effectuant la somme membre à membre des égalités précédentes, en utilisant les notations définies plus haut, on obtient :

S_n+1⁴ = S_n⁴ + 4S_n³ + 6S_n² + 4S_n + n + 1

Alors on a :

(n + 1)⁴ = 4S_n³ + 6S_n² + 4S_n + n + 1

4S_n³ = (n + 1)⁴ − 6S_n² − 4S_n − n − 1

Or, S_n = 1 + 2 + ... + n = n (n + 1) / 2 et 1² + 2² + 3² + 4² + ... ... + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6 .

Après toutes les simplifications possibles, on obtient :

4S_n³ = n² (n + 1)² .

La formule pour la somme des cubes des n premiers est donc :

`1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ... ... + n^3` = `{n^2 (n + 1)^2} / 4`

On remarque aussi que :

S_n³ = [ n (n + 1) / 2 ]²

La somme des n premiers cubes est égale à la somme des n premiers entiers élevé le tout au carré.

c'est-à-dire que :

`1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ... + n^3 ` = ` (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)^2`

On peut poursuivre en posant (comme notation) S_2n³ = 2³ + 4³ + 6³ + ... ... + (2n)³

On en déduit donc que la somme des cubes des n premiers entiers pairs est :

S_2n³ = 2³.1³ + 2³.2³ + ... ... + 2³.n³

S_2n³ = 2³ (1³ + 2³ + ... ... + n³)

S_2n³ = 8 × n² (n + 1)² / 4 = 2 × n² (n + 1)².

La somme des cubes des n premiers entiers pairs est :

`2^3 + 4^3 + 6^3 + ... + (2n)^3 ` = ` 2n^2 (n + 1)^2`

On peut poursuivre en posant (comme notation) S_2n−1³ = 1³ + 3³ + 5³ + ... ... + (2n − 1)³

De même, la somme des cubes des n premiers entiers impairs est

S_2n−1³ = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + ... ... + (2n)³ − [ 2³ + 4³ + 6³ + ... ... + (2n)³ ]

S_2n−1³ = 4 n² (2 n + 1)² / 4 − [ 2n²(n + 1)² ]

S_2n−1³ = n² (2 n + 1)² − 2n²(n + 1)²

S_2n−1³ = n²[ (2 n + 1)² − 2 (n + 1)² ]

S_2n−1³ = n² [ 4n² + 4n + 1 − 2n² − 4n − 2 ]

S_2n−1³ = n² [ 2n² − 1 ]

La somme des cubes des n premiers entiers impairs est :

`1^3 + 3^3 + 5^3 + ... + (2n − 1)^3 ` = ` n^2 (2n^2 − 1)`