XII Limite de qⁿ et suites géométriques

Dans ce chapitre, q est un nombre réel et nous étudions la limite de la suite (qⁿ)_n≥0 quand n tend vers +∞.

Le résultat dépend de la position de q par rapport à −1 et à 1. Nous en déduirons la limite d'une suite géométrique et la limite de la somme 1 + q + q² + ... + qⁿ.

1) Limite de qⁿ

a) Cas q > 1

Si q > 1, alors lim_n→+∞ qⁿ = +∞.

Démonstration

Posons a = q − 1. Comme q > 1, nous avons a > 0 et q = 1 + a.

Au chapitre I, nous avons démontré par récurrence l'inégalité de Bernoulli : pour tout réel a > 0 et pour tout entier n ≥ 0, (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na.

D'où pour tout entier n ≥ 0, qⁿ ≥ 1 + na.

Or a > 0, donc lim_n→+∞ (1 + na) = +∞.

La suite (qⁿ) est minorée, terme à terme, par une suite qui tend vers +∞. D'après le théorème de comparaison (chapitre X), lim_n→+∞ qⁿ = +∞.

b) Cas q = 1

Si q = 1, alors pour tout n, qⁿ = 1ⁿ = 1. La suite est constante et lim_n→+∞ qⁿ = 1.

c) Cas −1 < q < 1

Si −1 < q < 1, alors lim_n→+∞ qⁿ = 0.

Démonstration

Si q = 0, pour tout n ≥ 1, qⁿ = 0, et la limite est 0.

Supposons maintenant q ≠ 0. Alors 0 < |q| < 1, donc 1/|q| > 1.

D'après le cas a), lim_n→+∞ (1/|q|)ⁿ = +∞.

Or pour tout n, |q|ⁿ = $\frac{1}{{\left(\frac{1}{\left|q\right|}\right)}^n}$, et l'inverse d'une suite qui tend vers +∞ tend vers 0 (chapitre IX).

D'où lim_n→+∞ |q|ⁿ = 0.

Pour tout n, |qⁿ| = |q|ⁿ, donc −|q|ⁿ ≤ qⁿ ≤ |q|ⁿ.

Les deux suites (−|q|ⁿ) et (|q|ⁿ) tendent vers 0, donc d'après le théorème des gendarmes (chapitre X), lim_n→+∞ qⁿ = 0.

d) Cas q ≤ −1

Si q ≤ −1, la suite (qⁿ) n'a pas de limite.

Démonstration

Si q = −1, les termes valent alternativement 1 (n pair) et −1 (n impair).

La suite n'a pas de limite finie ℓ : l'intervalle ouvert ]ℓ − 1/2 ; ℓ + 1/2[ a pour longueur 1, il ne peut pas contenir à la fois 1 et −1 qui sont distants de 2, donc il ne contient pas tous les termes à partir d'un certain rang.

La suite ne tend pas vers +∞ : l'intervalle ]1 ; +∞[ ne contient aucun terme. Elle ne tend pas non plus vers −∞ : l'intervalle ]−∞ ; −1[ ne contient aucun terme.

Si q < −1, alors q² > 1. Pour tout n, q²ⁿ = (q²)ⁿ, donc d'après le cas a), les termes de rang pair tendent vers +∞.

Et q²ⁿ⁺¹ = q × (q²)ⁿ avec q < 0, donc les termes de rang impair tendent vers −∞.

La suite ne peut pas avoir de limite finie ℓ, car les termes de rang pair finissent par dépasser ℓ + 1. Elle ne tend pas vers +∞ car les termes de rang impair sont négatifs, et elle ne tend pas vers −∞ car les termes de rang pair sont positifs.

e) Tableau récapitulatif

2) Limite d'une suite géométrique

Soit (u_n)_n≥0 une suite géométrique de premier terme u₀ ≠ 0 et de raison q. Pour tout n, u_n = u₀ × qⁿ.

En multipliant les résultats du paragraphe 1) par la constante u₀ (chapitre IX), nous obtenons :

3) Somme des termes d'une suite géométrique et limite

Pour q ≠ 1 et pour tout entier n ≥ 0, nous savons (voir la page somme des termes d'une suite géométrique) que :

1 + q + q² + ... + qⁿ = $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Si −1 < q < 1, alors lim_n→+∞ (1 + q + q² + ... + qⁿ) = $\frac{1}{1-q}$.

Démonstration

Si −1 < q < 1, d'après le paragraphe 1), lim_n→+∞ qⁿ⁺¹ = 0.

D'où lim_n→+∞ (1 − qⁿ⁺¹) = 1, et comme 1 − q est une constante non nulle,

lim_n→+∞ (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q) = 1 / (1 − q).

Remarque : si q ≥ 1, la somme tend vers +∞. Pour q = 1, la somme vaut n + 1 ; pour q > 1, qⁿ⁺¹ tend vers +∞ et 1 − q < 0, donc (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q) tend vers +∞.

4) Algorithme de seuil

La suite (0,95ⁿ) tend vers 0 car −1 < 0,95 < 1. Elle est décroissante, car 0,95ⁿ⁺¹ = 0,95 × 0,95ⁿ < 0,95ⁿ.

Il existe donc un rang à partir duquel 0,95ⁿ < 0,01. Cherchons le plus petit entier n tel que 0,95ⁿ < 0,01.

n = 0
u = 1
while u >= 0.01:
    u = u * 0.95
    n = n + 1
print(n)

Au départ u = 0,95⁰ = 1. Tant que u ≥ 0,01, on multiplie u par 0,95 et on augmente n de 1 : à chaque tour, u contient 0,95ⁿ.

La boucle s'arrête dès que u < 0,01, et le programme affiche 90.

Vérifions à la calculatrice : 0,95⁸⁹ ≈ 0,0104, qui est encore supérieur à 0,01 ; et 0,95⁹⁰ ≈ 0,0099 < 0,01.

Le plus petit entier n tel que 0,95ⁿ < 0,01 est donc n = 90. Comme la suite est décroissante, nous avons aussi 0,95ⁿ < 0,01 pour tout n ≥ 90.

Exercices

Exercice XII.1

Déterminer la limite de chacune des suites définies pour tout n ∈ ℕ par :

a) u_n = 4 × 0,7ⁿ + 2 ;

b) v_n = 3ⁿ − 2ⁿ ;

c) w_n = $\frac{2^n+3^n}{4^n}$ ;

d) t_n = $\frac{{(-2)}^n}{3^n}$.

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Exercice XII.2

1) Calculer, pour tout n ∈ ℕ, S_n = 1 + 1/3 + 1/9 + ... + 1/3ⁿ, puis la limite de S_n.

2) Pour tout entier n ≥ 1, on pose T_n = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... + 9/10ⁿ = 0,99...9 (n chiffres 9 après la virgule). Calculer T_n en fonction de n, puis la limite de T_n.

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Exercice XII.3

On injecte à un patient 200 mg d'un médicament. Chaque heure, la quantité de médicament présente dans le sang diminue de 20 %. On note m_n la quantité (en mg) présente au bout de n heures, avec m₀ = 200.

1) Exprimer m_n+1 en fonction de m_n, puis m_n en fonction de n.

2) Déterminer la limite de la suite (m_n).

3) Écrire un programme qui affiche le nombre d'heures à partir duquel la quantité devient inférieure à 1 mg, et donner le résultat.

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Corrections

Correction de l'exercice XII.1

a) −1 < 0,7 < 1, donc lim_n→+∞ 0,7ⁿ = 0, d'où lim_n→+∞ 4 × 0,7ⁿ = 0 et lim_n→+∞ u_n = 2.

b) 3ⁿ et 2ⁿ tendent tous les deux vers +∞ : c'est une forme indéterminée « ∞ − ∞ ». Factorisons par le terme le plus grand, 3ⁿ :

v_n = 3ⁿ × (1 − 2ⁿ/3ⁿ) = 3ⁿ × (1 − (2/3)ⁿ).

Or −1 < 2/3 < 1, donc lim_n→+∞ (2/3)ⁿ = 0 et lim_n→+∞ (1 − (2/3)ⁿ) = 1.

Et 3 > 1, donc lim_n→+∞ 3ⁿ = +∞. Par produit, lim_n→+∞ v_n = +∞.

c) w_n = 2ⁿ/4ⁿ + 3ⁿ/4ⁿ = (1/2)ⁿ + (3/4)ⁿ.

Les deux raisons 1/2 et 3/4 sont strictement comprises entre −1 et 1, donc lim_n→+∞ w_n = 0 + 0 = 0.

d) t_n = (−2/3)ⁿ et −1 < −2/3 < 1, donc lim_n→+∞ t_n = 0.

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Correction de l'exercice XII.2

1) S_n est la somme des termes d'une suite géométrique de raison q = 1/3 ≠ 1 :

S_n = (1 − (1/3)ⁿ⁺¹) / (1 − 1/3) = 3/2 × (1 − (1/3)ⁿ⁺¹).

Or −1 < 1/3 < 1, donc lim_n→+∞ (1/3)ⁿ⁺¹ = 0 et lim_n→+∞ S_n = 3/2.

2) T_n = 0,9 × (1 + 0,1 + 0,01 + ... + 0,1ⁿ⁻¹), la parenthèse contient n termes d'une suite géométrique de raison 0,1 :

T_n = 0,9 × (1 − 0,1ⁿ) / (1 − 0,1) = 0,9 × (1 − 0,1ⁿ) / 0,9 = 1 − 0,1ⁿ.

Par exemple T₃ = 1 − 0,001 = 0,999.

Or −1 < 0,1 < 1, donc lim_n→+∞ 0,1ⁿ = 0 et lim_n→+∞ T_n = 1.

C'est ce que l'on exprime en écrivant 0,999... = 1 : le nombre qui s'écrit avec une infinité de chiffres 9 après la virgule est égal à 1.

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Correction de l'exercice XII.3

1) Diminuer de 20 % revient à multiplier par 1 − 0,20 = 0,8. Donc pour tout n ∈ ℕ, m_n+1 = 0,8 m_n.

La suite (m_n) est géométrique de premier terme m₀ = 200 et de raison 0,8, donc pour tout n ∈ ℕ, m_n = 200 × 0,8ⁿ.

2) −1 < 0,8 < 1, donc lim_n→+∞ 0,8ⁿ = 0 et lim_n→+∞ m_n = 0.

3) Un programme possible :

n = 0
m = 200
while m >= 1:
    m = m * 0.8
    n = n + 1
print(n)

Le programme affiche 24. En effet m₂₃ = 200 × 0,8²³ ≈ 1,18 ≥ 1 et m₂₄ = 200 × 0,8²⁴ ≈ 0,94 < 1.

La suite est décroissante, donc la quantité de médicament est inférieure à 1 mg à partir de 24 heures.

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