Suites en mathématiques

somme des puissances quatrièmes

La somme des puissances quatrièmes des n premiers nombres entiers

La suite des puissances quatrièmes des n premiers nombres entiers est 1, 16, 81, ... , n⁴.

Elle peut encore s'écrire sous la forme 1⁴, 2⁴, 3⁴, 4⁴, ... ... , n⁴.

Nous notons S_n⁴ la somme des puissances quatrièmes des n premiers nombres entiers,

S_n⁴ = 1⁴ + 2⁴ + 3⁴ + 4⁴ + ... ... + n⁴.

Avec la même méthode que celle employée pour la somme des n premiers carrés ou des n premiers cubes (voir les pages : somme des n premiers carrés et somme des n premiers cubes ) , c'est-à-dire en développant le terme (n + 1)⁵ ,

on obtient que :

S_n⁴ = n ( n + 1 ) ( 6n³ + 9n² + n − 1 ) / 30 .

La formule pour la somme des puissances quatrièmes des n premiers nombres entiers est donc :

`1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 + ... + n^4 ` = `{n ( n + 1 ) ( 6n^3 + 9n^2 + n − 1 )} / 30 `