III Suites géométriques

1°) Définition des suites géométriques

Soit a un entier naturel fixé, la suite (u_n)_n≥a est une suite géométrique s'il existe une constante réelle q telle que pour tout entier n ≥ a, u_n+1 = u_n × q ; q est appelée la raison de la suite géométrique.

Une suite géométrique est définie par son premier terme et sa raison.

2°) Calculer les termes d'une suite géométrique

3°) Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

u₁, u₂, u₃, ..., u_k sont k termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q ≠ 1.

S = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_k−1 + u_k ;

Sq = u₁q + u₂q + u₃q + ... + u_k−1q + u_kq

= u₂ + u₃ + ... + u_k−1 + u_k + u_kq ;

Sq − S = u_kq − u₁ or u_k = u₁ × q^k−1 ;

Sq − S = u₁q^k − u₁ ;

S(q − 1) = u₁(q^k − 1) ;

S = u₁(q^k − 1)÷(q − 1).

La somme de k termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 est le produit du premier des k termes par : (q^k − 1)÷(q − 1).

Si x ≠ 1, 1 + x + x² + ... + xⁿ = (xⁿ⁺¹ − 1)÷(x − 1).

Additif

Lorsque l'on a k termes consécutifs d'une suite géométrique, le produit de 2 termes équidistants des extrêmes est égal au produit des 2 termes extrêmes.

4°) Sens de variation d'une suite géométrique

Soit (u_n)_n∈ℕ une suite géométrique de premier terme u₀ ≠ 0 et de raison q réel non nul. Pour tout n ∈ ℕ, u_n = u₀ × qⁿ.

Démonstration.

Pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 − u_n = u₀ × qⁿ⁺¹ − u₀ × qⁿ = u₀qⁿ(q − 1).

Premier cas : q > 0. Alors qⁿ > 0, et u_n+1 − u_n a le signe du produit u₀(q − 1).

Si u₀ > 0 et q > 1, on a u₀(q − 1) > 0 : la suite est strictement croissante.

Si u₀ > 0 et 0 < q < 1, on a u₀(q − 1) < 0 : la suite est strictement décroissante.

Si u₀ < 0, le produit u₀(q − 1) change de signe, donc le sens de variation est inversé.

Si q = 1, on a u_n+1 − u_n = 0 : la suite est constante.

Deuxième cas : q < 0. Alors qⁿ est positif quand n est pair et négatif quand n est impair. Les termes u_n changent de signe à chaque rang, donc la suite n'est pas monotone.

5°) Un algorithme de seuil

Un capital de 1000 euros est placé à intérêts composés au taux annuel de 3 %. Au bout de combien d'années aura-t-il doublé ?

On note C_n le capital au bout de n années. Chaque année le capital est multiplié par 1 + 3 ÷ 100 = 1,03. (C_n) est la suite géométrique de premier terme C₀ = 1000 et de raison q = 1,03 : C_n = 1000 × 1,03ⁿ.

Comme C₀ > 0 et q > 1, la suite est strictement croissante. On cherche le plus petit entier n tel que C_n ≥ 2000.

Le programme suivant multiplie le capital par 1,03 tant qu'il est inférieur à 2000, et compte les années avec n.

c = 1000
n = 0
while c < 2000:
    c = c * 1.03
    n = n + 1
print(n)

Le programme affiche 24. Le capital aura doublé au bout de 24 années.

Vérification à la calculatrice : C₂₃ = 1000 × 1,03²³ ≈ 1973,59 < 2000 et C₂₄ = 1000 × 1,03²⁴ ≈ 2032,79 ≥ 2000.

Remarque : en Python on écrit 1.03 avec un point, et non une virgule.

Exercices

Exercice III.1

Une somme de 10 000 euros est placée à un taux d'intérêt annuel de 4,5 %. Chaque année, les intérêts sont calculés sur le capital initial + intérêts acquis (intérêts composés).

De quelle somme dispose-t-on au bout de 20 ans ?

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Exercice III.2

Une population d'oiseaux compte 800 individus en 2025. Chaque année, elle diminue de 10 %.

On note v_n le nombre d'oiseaux en l'année 2025 + n, avec v₀ = 800.

1) Montrer que (v_n) est une suite géométrique. Donner sa raison et exprimer v_n en fonction de n.

2) Quel est le sens de variation de la suite (v_n) ?

3) Écrire un programme Python qui donne le plus petit entier n tel que v_n < 400. En quelle année la population aura-t-elle diminué de moitié ?

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Exercice III.3

Étudier le sens de variation des suites géométriques suivantes, définies pour tout n ∈ ℕ :

1) u_n = −3 × 2ⁿ ;

2) v_n = 6 × 0,8ⁿ ;

3) w_n = 4 × (−0,5)ⁿ.

(Les sections 4°) et 5°) sont utiles pour les exercices III.2 et III.3.)

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Corrections

Correction de l'exercice III.1

C₀ le capital initial C₀ = 10 000 euros ;

C₁ le capital au bout d'un an ;

C₂ le capital au bout de 2 ans ;

...

C_n le capital au bout de n ans.

On veut calculer C₂₀.

Exprimer C_n+1 en fonction de C_n.

C_n+1 est égal à la somme disponible au bout de n+1 années.

C_n+1 est égal à la somme disponible au bout de n années plus les intérêts d'un an sur cette somme.

C_n+1 = C_n + (4,5 ÷ 100) × C_n = 1,045 × C_n alors q = 104,5 ÷ 100.

Pour tout n ∈ ℕ, C_n+1 = C_n × q.

(C_n) est la suite géométrique de premier terme C₀ = 10 000 et de raison q = 104,5 ÷ 100, on a alors :

C₂₀ = C₀ × q²⁰⁻⁰ = 10 000 × 1,045²⁰ ≈ 24 117,14 euros.

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Correction de l'exercice III.2

1) Diminuer de 10 % revient à multiplier par 1 − 10 ÷ 100 = 0,9.

Pour tout n ∈ ℕ, v_n+1 = v_n × 0,9.

(v_n) est la suite géométrique de premier terme v₀ = 800 et de raison q = 0,9, donc v_n = 800 × 0,9ⁿ.

2) v₀ = 800 > 0 et 0 < q = 0,9 < 1, donc la suite (v_n) est strictement décroissante.

3) On multiplie v par 0,9 tant que v est supérieur ou égal à 400, et on compte les années avec n :

v = 800
n = 0
while v >= 400:
    v = v * 0.9
    n = n + 1
print(n)

Le programme affiche 7.

Vérification : v₆ = 800 × 0,9⁶ ≈ 425,15 ≥ 400 et v₇ = 800 × 0,9⁷ ≈ 382,64 < 400.

La population aura diminué de moitié au bout de 7 ans, c'est-à-dire en 2025 + 7 = 2032.

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Correction de l'exercice III.3

1) u₀ = −3 < 0 et q = 2 > 1.

Pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 − u_n = −3 × 2ⁿ × (2 − 1) = −3 × 2ⁿ < 0.

La suite (u_n) est strictement décroissante : u₀ = −3, u₁ = −6, u₂ = −12, u₃ = −24, ...

2) v₀ = 6 > 0 et 0 < q = 0,8 < 1.

Pour tout n ∈ ℕ, v_n+1 − v_n = 6 × 0,8ⁿ × (0,8 − 1) = −1,2 × 0,8ⁿ < 0.

La suite (v_n) est strictement décroissante.

3) La raison q = −0,5 est négative. Calculons les premiers termes :

w₀ = 4, w₁ = −2, w₂ = 1, w₃ = −0,5, ...

On a w₀ > w₁ mais w₁ < w₂. La suite (w_n) n'est ni croissante, ni décroissante.

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