La suite de Lucas est défini par la même relation de récurence que la suite de Fibonacci. La suite de Lucas fut étudiée par le mathématicien français Édouard Lucas. Les termes de cette suite sont appelés les nombres de Lucas.
La suite de Lucas est définie par u0 = 1, u1 = 3 et pour tout n > 1 par la relation un+1 = un + un−1.
Avec un code trés simple en php nous pouvons obtenir rapidement les premiers termes de cette suite :
<?php
$a=1;$b=3;echo $a $b;
while ($i<9) { $c=$a+$b;$a=$b;$b=$c; echo $c;} // calcul les 10 premiers termes de la suite
?>
Voici les premiers nombres de lucas et les puissances respectives du nombres d'or.
u1 = 1
u2 = 3
u3 = 4 et [(1 + √5)/2]3 = 4.2360679774998...
u4 = 7 et [(1 + √5)/2]4 = 6.8541019662497...
u5 = 11 et [(1 + √5)/2]5 = 11.090169943749...
u6 = 18 et [(1 + √5)/2]6 = 17.944271909999...
u7 = 29 et [(1 + √5)/2]7 = 29.034441853749...
u8 = 47 et [(1 + √5)/2]8 = 46.978713763748...
u9 = 76 et [(1 + √5)/2]9 = 76.013155617496...
u10 = 123 et [(1 + √5)/2]10 = 122.99186938124...
u11 = 199 et [(1 + √5)/2]11 = 199.00502499874...
u12 = 322 et [(1 + √5)/2]12 = 321.99689437998...
u13 = 521 et [(1 + √5)/2]13 = 521.00191937873...
u14 = 843 et [(1 + √5)/2]14 = 842.99881375871...
u15 = 1364 et [(1 + √5)/2]15 = 1364.0007331374...
u16 = 2207 et [(1 + √5)/2]16 = 2206.9995468961...
u17 = 3571 et [(1 + √5)/2]17 = 3571.0002800336...
u18 = 5778 et [(1 + √5)/2]18 = 5777.9998269297...
u19 = 9349 et [(1 + √5)/2]19 = 9349.0001069633...
u20 = 15127 et [(1 + √5)/2]20 = 15126.999933893...
u21 = 24476 et [(1 + √5)/2]21 = 24476.000040856...
u22 = 39603 et [(1 + √5)/2]22 = 39602.999974749...
u23 = 64079 et [(1 + √5)/2]23 = 64079.000015606...
Remarquons que les puissances nième du nombre d'or sont trés proches du nième terme de la suite de Lucas.