V Suites monotones
1°) Définition
Soit a un entier naturel fixé, la suite (un)n≥a est une suite à termes réels de premier terme ua.
a) Suite constante
La suite est constante (ou stationnaire) s'il existe une constante réelle k telle que pour tout n ≥ a, un = k (c'est-à-dire pour tout n ≥ a, un = un+1).
b) Suite croissante
La suite est croissante si pour tout entier n ≥ a, un ≤ un+1,
c'est-à-dire un+1 − un ≥ 0.
c) Suite décroissante
La suite est décroissante si pour tout entier n ≥ a, un ≥ un+1,
c'est-à-dire un+1 − un ≤ 0.
d) Suite strictement croissante
La suite est strictement croissante si pour tout entier n ≥ a, un < un+1,
c'est-à-dire un+1 − un > 0.
e) Suite strictement décroissante
La suite est strictement décroissante si pour tout entier n ≥ a, un > un+1,
c'est-à-dire un+1 − un < 0.
Remarques :
- Si la suite est croissante nous avons ua ≤ ua+1 ≤ ua+2 ≤ ... ≤ un et elle est, de fait, minorée par son premier terme ua.
- Si la suite est décroissante nous avons ua ≥ ua+1 ≥ ua+2 ≥ ... ≥ un et elle est, de fait, majorée par son premier terme ua.
- Si une suite est croissante ou si elle est décroissante, elle est dite monotone.
- Si une suite est strictement croissante ou si elle est strictement décroissante, elle est dite strictement monotone.
- Étudier le sens de variation d'une suite, c'est étudier sa monotonie éventuelle.
Remarques importantes :
i) Une suite peut n'être ni croissante, ni décroissante ; exemple : la suite U = (un)n≥0 avec un = (−1)n, les termes successifs sont égaux à 1, −1, 1, −1, ... Cette suite n'est pas monotone.
ii) Soit la suite U = (un)n≥a une suite numérique de premier terme ua. S'il existe un entier k > a tel que la suite (un)n≥k soit croissante (respectivement décroissante), on dit que la suite U est croissante (respectivement décroissante) à partir du rang n = k.
Méthode de travail
Étudier le sens de variation de la suite U = (un)n≥a.
Première méthode
Étudier directement le signe de un+1 − un.
Soit la suite U = (un)n≥0, telle que pour tout n entier naturel un = n² + n + 2.
Pour tout entier n ≥ 0, un+1 − un = (n+1)² + (n+1) + 2 − (n² + n + 2) = n² + 3n + 4 − n² − n − 2 ;
un+1 − un = 2n + 2 = 2(n + 1) > 0.
La suite U est strictement croissante.
V = (Vn)n≥2 définie par Vn = (n+1)/(n−1).
Pour tout entier n ≥ 2,
Vn+1 − Vn = (n+2)/n − (n+1)/(n−1) = [(n+2)(n−1) − n(n+1)] / [n(n−1)] ;
Vn+1 − Vn = −2 / [n(n−1)] < 0.
La suite V est strictement décroissante.
Deuxième méthode
On suppose qu'il existe une fonction numérique ƒ définie sur [a ; +∞[ telle que pour tout entier n ≥ a, un = ƒ(n).
Si la fonction ƒ est croissante (respectivement décroissante) sur [a ; +∞[, alors la suite U = (un)n≥a est croissante (respectivement décroissante).
Soit la suite U = (un)n≥0, telle que pour tout n entier naturel un = n² + n + 2.
Soit la fonction ƒ : x → ƒ(x) = x² + x + 2 définie sur [0 ; +∞[ telle que pour tout n entier naturel un = ƒ(n).
Étudions le sens de variation de ƒ sur [0 ; +∞[.
La fonction ƒ est continue et dérivable sur [0 ; +∞[, pour tout x ∈ [0 ; +∞[, on a ƒ′(x) = 2x + 1 > 0 donc ƒ est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
Donc la suite U est strictement croissante.
V = (Vn)n≥2 définie par Vn = (n+1)/(n−1).
Soit la fonction ƒ : x → ƒ(x) = (x+1)/(x−1) telle que pour tout entier n ≥ 2, Vn = ƒ(n).
Étudions le sens de variation de ƒ sur [2 ; +∞[.
La fonction ƒ est continue et dérivable sur [2 ; +∞[, pour tout x ∈ [2 ; +∞[, on a ƒ′(x) = [(x−1) − (x+1)]/(x−1)² = −2/(x−1)² < 0.
Donc ƒ est strictement décroissante sur [2 ; +∞[ donc la suite V est strictement décroissante.
Troisième méthode
On suppose que la suite est à termes strictement positifs.
Pour tout entier n ≥ a, un > 0,
alors un ≤ un+1 ⇔ un+1 / un ≥ 1 ;
alors un ≥ un+1 ⇔ un+1 / un ≤ 1.
Donc la suite est croissante (respectivement strictement croissante) ssi pour tout entier n ≥ a, on a un+1/un ≥ 1 (respectivement > 1).
Donc la suite est décroissante (respectivement strictement décroissante) ssi pour tout entier n ≥ a, on a un+1/un ≤ 1 (respectivement < 1).
Soit q un réel non nul.
On considère la suite U = (un)n≥0 définie pour tout n ≥ 0 par la relation : un = qn.
Premier cas : q < 0.
Alors u0 > 0, u1 < 0, u2 > 0, ... La suite n'est pas monotone.
Deuxième cas : q > 0.
Alors pour tout n ∈ ℕ, un > 0 et un+1 / un = qn+1 / qn = q.
Si q > 1, on a pour tout n ≥ 0, un+1 / un > 1 alors la suite est strictement croissante.
Si 0 < q < 1, on a pour tout n ≥ 0, 0 < un+1 / un < 1 alors la suite est strictement décroissante.
Si q = 1, on a pour tout n ≥ 0, un+1 / un = 1 alors la suite est constante.
Soit q un réel fixé non nul, et la suite (un)n≥0 définie par un = qn, nous avons alors :
Si q > 1 alors la suite est strictement croissante.
Si 0 < q < 1 alors la suite est strictement décroissante.
Si q = 1 alors la suite est constante.
Si q < 0 la suite n'est pas monotone.
Quatrième méthode (pour les suites récurrentes)
Cette méthode repose sur un raisonnement par récurrence, qui relève aujourd'hui du programme de Terminale (spécialité mathématiques).
Si nous établissons que pour tout entier n ≥ a, un+1 − un et un+2 − un+1 sont de même signe, alors pour tout n ≥ a, un+1 − un est du signe de ua+1 − ua.
Étudier la monotonie de la suite U = (un)n≥0 définie par un+1 = 2un − 3 et u0 = 0.
Il faut comparer les signes de un+1 − un et un+2 − un+1.
Pour tout n ≥ 0,
un+2 = 2un+1 − 3 et un+1 = 2un − 3 ;
un+2 − un+1 = 2(un+1 − un) et 2 > 0.
Donc pour tout n ≥ 0, un+2 − un+1 et un+1 − un sont de même signe, donc un+1 − un possède le même signe que u1 − u0 = −3.
Donc pour tout n ≥ 0, un+1 − un ≤ 0 donc la suite est décroissante.
Exercices
Exercice V.1
Étudier la monotonie de la suite U = (un)n≥1 définie par un = 20n / n.
Exercice V.2
Cet exercice relève aujourd'hui de la Terminale : la factorielle n'est pas au programme de Première.
Soit la suite U = (un)n≥0 définie par un = n! / 10,5n.
Nous rappelons que pour tout n > 0, n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1 et 0! = 1.
Étudier la monotonie de cette suite.
Corrections
Correction de l'exercice V.1
Pour tout n ≥ 1, on a un > 0.
Comparons un+1 / un à 1.
Pour tout n ≥ 1, un+1 / un = [20n+1 / (n+1)] × [n / 20n] = 20n / (n+1).
Pour tout n entier ≥ 1, un+1 / un ≤ 1 ⇔ 20n ≤ n+1 ⇔ 19n ≤ 1 ⇔ n ≤ 1/19.
Or c'est impossible car n ≥ 1, donc on a pour tout n ≥ 1, un+1 / un > 1, donc la suite est strictement croissante.
Correction de l'exercice V.2
Pour tout n ≥ 0 nous avons un > 0.
Pour tout n ≥ 0, un+1 / un = [(n+1)! / 10,5n+1] × [10,5n / n!] = (n+1) / 10,5.
Pour tout n entier ≥ 0, un+1 / un ≤ 1 ⇔ n+1 ≤ 10,5 ⇔ n ≤ 9,5 ⇔ n ≤ 9.
Pour tout n entier ≥ 0, un+1 / un ≥ 1 ⇔ n+1 ≥ 10,5 ⇔ n ≥ 9,5 ⇔ n ≥ 10.
Pour tout entier n ≥ 10 la suite (un)n≥10 est croissante, c'est-à-dire que la suite U = (un)n≥0 est croissante à partir du rang n = 10.