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VII Suites réelles monotones exemples

Dans tout la suite du texte on notera l'ensemble des entiers naturels par la lettre ℕ.

Exemple 1 :

Soit (u_n)_n≥0 une suite à termes réels définie par :

u₀ = −1

∀ n ∈ ℕ, u_n+1 = (3 + 2u_n) / (2 + u_n)

a) Montrer que ∀ n ∈ ℕ, u_n ≥ −1

On a, ∀ n ∈ ℕ, u_n+1 = ƒ(u_n), ƒ étant la fonction numérique qui a tout x ------> ƒ(u_n) = (3 + 2x) / (2 + x) définie sur Dƒ = ]−∞;+∞[ \ {2}.   [−1;+∞[ ⊂ Dƒ .

On veut montrer que ∀ n ∈ ℕ, u_n ∈ [−1;+∞[ , ce qui sera facile si par chance ƒ( [−1;+∞[ ) ⊂ [−1;+∞[ .

Etudions les variations de ƒ sur [−1;+∞[ . ƒ est dérivable sur [−1;+∞[ .

∀ x ∈ [−1;+∞[ , ƒ'(x) = 1 / ( x + 2 )² > 0, donc ƒest strictement croissante sur [−1;+∞[ et ƒ(−1) = 1 > 0 .

D'où ∀ x ∈ [−1;+∞[ , ƒ(x) ∈ [−1;+∞[ d'où ƒ( [−1;+∞[ ) ⊂ [−1;+∞[ .

Et alors il est facile de montrer par récurrence que ∀ n ∈ ℕ, u_n ≥ −1

u₀ = −1 ∈ [−1;+∞[

si p un entier ≥ 0 est tel que u_p ∈ [−1;+∞[ alors u_p+1 = ƒ(u_p) ∈ ƒ( [−1;+∞ [) ⊂ [−1;+∞[ .

D'où u_p+1 ∈ [−1;+∞[ .

On a bien ∀ n ∈ ℕ, u_n ∈ [−1;+∞[ .

b) Montrer que la suite (u_n) est strictement monotone.

On pose pour tout entier positif , v_n = u_n+1 − u_n

Comparons les signes de v_n et v_n+1 .

On a v_n+1 = u_n+2 − u_n+1 = ƒ(u_n+1) − ƒ(u_n) .

u_n ∈ [−1;+∞[ et u_n+1 ∈ [−1;+∞[

On sait que ƒ est strictement croissante sur [−1;+∞[, c'est-à-dire que pour tout couple (x,x') avec x ≠ x' de [−1;+∞[ × [−1;+∞[ , on a donc [ƒ'(x) − ƒ'(x)]÷[x' − x] > 0 (par définition)

D'où [ƒ(u_n+1) − ƒ(u_n)] ÷ [u_n+1 − u_n] = v_n+1 ÷ v_n > 0.

Donc pour tout n ∈ ℕ tel que v_n≠ 0, v_n+1 est non nul de même signe que v_n .

D'où par récurrence si v₀≠ 0, pour tout n ∈ ℕ, v_n est non nul de même signe que v_0.

On a v₀ = u₁ − u₀ = ƒ(−1) − (−1) = 1 + 1 = 2

Conclusion :

Donc pour tout n ∈ ℕ , v_n > 0 .

La suite (u_n)_n≥0 est strictement croissante.

Généralisaion

Soit une suite U = (u_n)_n≥a une suite à termes réels vérifiant :

- pour tout entier n ≥ a, u_n+1 = ƒ(u_n) , ƒ étant une fonction de ℜ dans ℜ.

1) pour que la suite soit constante il faut et il suffit que le 1er terme = 2ème terme, c'est-à-dire que u₀ soit solution de l'équation ƒ(x) = x (idem pour une suite à termes complexes).

2) On suppose qu'il existe un intervalle I (non réduit à un point) inclus dans le domaine de définition de ƒ et telque :

pour tout entier n ≥ a, u_n ∈ I et ƒ soit strictement croissante sur I.

alors

en posant v_n = u_n+1 − u_n, on démontrera sur chaque exemple de ce type que pour tout n ≥ a tel que v_n ≠ 0, v_n+1 est non nul de même signe que v_n d'où si v₀ ≠ 0 par récurrence pour tout n ≥ a, v_n est du signe de v₀.

Remarque :

Si la fonction ƒ est décroissante sur I alors pour tout couple (x,x') ∈ I² tel que x ≠ x' [ƒ'(x) − ƒ'(x)]÷[x' − x] < 0 on a [ƒ'(x) − ƒ'(x)] et [x' − x] de signes contraires.

Donc pour tout entier n ≥ a, v_n+1 = u_n+2 − u_n+1 = ƒ(u_n+1) − ƒ(u_n) et v_n = u_n+1 − u_n sont de signes contraires, alors les termes de (v_n) sont alternativement positifs ou négatifs donc la suite n'est pas monotone même à partir d'un certain rang.

Exemple : La suite générale U = (u_n)_{n ∈ ℕ} est définie par :

u₀ = 1 et pour tout n ∈ ℕ , u_n =

Montrer que pour tout n ∈ ℕ, 0 < u_n ≤ 1

Montrer que la suite est strictement monotone. On pourra utiliser le sens de variation de la fonction

ƒ : x ------> ƒ(x) = .

On remarque que pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 = ƒ(u_n) .

Pour tout n ∈ ℜ\{3}, ƒ'(x) = > 0 , ƒ est strictement croissante sur I = ]0;1] .

Donc pour tout x ∈ ]0;1] , ƒ(0) < ƒ(x) ≤ ƒ(1)

C'est-à-dire pour tout x ∈ ]0;1] ,1/3 < ƒ(x) ≤ 1/2 d'où pour tout x ∈ ]0;1] , ƒ(x)∈]0;1].

Par récurrence on établit alors pour tout n ∈ ℕ , u_n ∈ ]0;1[ .

On va monrer que la suite U est strictement décroissante, c'est-à-dire que pour tout n ∈ ℕ, u_n > u_n+1.