VII Suites réelles monotones exemples

Exemple 1

Soit (u_n)_n≥0 une suite à termes réels définie par :

u₀ = −1 ;

∀ n ∈ ℕ, u_n+1 = (3 + 2u_n) / (2 + u_n).

a) Montrer que ∀ n ∈ ℕ, u_n ≥ −1.

On a, ∀ n ∈ ℕ, u_n+1 = ƒ(u_n), ƒ étant la fonction numérique qui à tout x associe ƒ(x) = (3 + 2x) / (2 + x), définie sur Dƒ = ]−∞ ; +∞[ \ {−2}. [−1 ; +∞[ ⊂ Dƒ.

On veut montrer que ∀ n ∈ ℕ, u_n ∈ [−1 ; +∞[, ce qui sera facile si par chance ƒ( [−1 ; +∞[ ) ⊂ [−1 ; +∞[.

Étudions les variations de ƒ sur [−1 ; +∞[. ƒ est dérivable sur [−1 ; +∞[.

∀ x ∈ [−1 ; +∞[, ƒ'(x) = 1 / ( x + 2 )² > 0, donc ƒ est strictement croissante sur [−1 ; +∞[ et ƒ(−1) = 1 ≥ −1.

D'où ∀ x ∈ [−1 ; +∞[, ƒ(x) ≥ ƒ(−1) ≥ −1, c'est-à-dire ƒ(x) ∈ [−1 ; +∞[, d'où ƒ( [−1 ; +∞[ ) ⊂ [−1 ; +∞[.

Et alors il est facile de montrer par récurrence que ∀ n ∈ ℕ, u_n ≥ −1 :

u₀ = −1 ∈ [−1 ; +∞[ ;

si p est un entier ≥ 0 tel que u_p ∈ [−1 ; +∞[ alors u_p+1 = ƒ(u_p) ∈ ƒ( [−1 ; +∞[ ) ⊂ [−1 ; +∞[.

D'où u_p+1 ∈ [−1 ; +∞[.

On a bien ∀ n ∈ ℕ, u_n ∈ [−1 ; +∞[.

b) Montrer que la suite (u_n) est strictement monotone.

On pose pour tout entier naturel n, v_n = u_n+1 − u_n.

Comparons les signes de v_n et v_n+1.

On a v_n+1 = u_n+2 − u_n+1 = ƒ(u_n+1) − ƒ(u_n).

u_n ∈ [−1 ; +∞[ et u_n+1 ∈ [−1 ; +∞[.

On sait que ƒ est strictement croissante sur [−1 ; +∞[, c'est-à-dire que pour tout couple (x, x') de [−1 ; +∞[ × [−1 ; +∞[ avec x ≠ x', on a [ƒ(x') − ƒ(x)] ÷ [x' − x] > 0 (par définition).

D'où, si v_n ≠ 0, [ƒ(u_n+1) − ƒ(u_n)] ÷ [u_n+1 − u_n] = v_n+1 ÷ v_n > 0.

Donc pour tout n ∈ ℕ tel que v_n ≠ 0, v_n+1 est non nul de même signe que v_n.

D'où par récurrence si v₀ ≠ 0, pour tout n ∈ ℕ, v_n est non nul de même signe que v₀.

On a v₀ = u₁ − u₀ = ƒ(−1) − (−1) = 1 + 1 = 2 > 0.

Conclusion :

Donc pour tout n ∈ ℕ, v_n > 0.

La suite (u_n)_n≥0 est strictement croissante.

Généralisation

Remarque :

Si la fonction ƒ est strictement décroissante sur I alors pour tout couple (x, x') ∈ I² tel que x ≠ x', [ƒ(x') − ƒ(x)] ÷ [x' − x] < 0 ; on a [ƒ(x') − ƒ(x)] et [x' − x] de signes contraires.

Donc pour tout entier n ≥ a tel que v_n ≠ 0, v_n+1 = u_n+2 − u_n+1 = ƒ(u_n+1) − ƒ(u_n) et v_n = u_n+1 − u_n sont de signes contraires, alors, si v_a ≠ 0, les termes de (v_n) sont alternativement positifs et négatifs donc la suite n'est pas monotone, même à partir d'un certain rang.

Exemple

La suite U = (u_n)_{n ∈ ℕ} est définie par :

u₀ = 1 et pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 = $\frac{1}{3-u_n}$.

Montrer que pour tout n ∈ ℕ, 0 < u_n ≤ 1.

Montrer que la suite est strictement monotone. On pourra utiliser le sens de variation de la fonction

ƒ : x ↦ ƒ(x) = $\frac{1}{3-x}$.

On remarque que pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 = ƒ(u_n).

Pour tout x ∈ ℝ\{3}, ƒ'(x) = $\frac{1}{{\left(3-x\right)}^2}$ > 0, ƒ est strictement croissante sur I = ]0 ; 1].

Donc pour tout x ∈ ]0 ; 1], ƒ(0) < ƒ(x) ≤ ƒ(1).

C'est-à-dire pour tout x ∈ ]0 ; 1], 1/3 < ƒ(x) ≤ 1/2 d'où pour tout x ∈ ]0 ; 1], ƒ(x) ∈ ]0 ; 1].

Par récurrence on établit alors pour tout n ∈ ℕ, u_n ∈ ]0 ; 1] : u₀ = 1 ∈ ]0 ; 1] et si p est un entier ≥ 0 tel que u_p ∈ ]0 ; 1], alors u_p+1 = ƒ(u_p) ∈ ]0 ; 1].

On va montrer que la suite U est strictement décroissante, c'est-à-dire que pour tout n ∈ ℕ, u_n > u_n+1.

On pose pour tout entier naturel n, v_n = u_n+1 − u_n.

On a v_n+1 = u_n+2 − u_n+1 = ƒ(u_n+1) − ƒ(u_n).

u_n ∈ ]0 ; 1] et u_n+1 ∈ ]0 ; 1], et ƒ est strictement croissante sur ]0 ; 1].

D'où, si v_n ≠ 0, [ƒ(u_n+1) − ƒ(u_n)] ÷ [u_n+1 − u_n] = v_n+1 ÷ v_n > 0.

Donc pour tout n ∈ ℕ tel que v_n ≠ 0, v_n+1 est non nul de même signe que v_n.

On a v₀ = u₁ − u₀ = ƒ(1) − 1 = 1/2 − 1 = −1/2 < 0.

Par récurrence : v₀ < 0 et si p est un entier ≥ 0 tel que v_p < 0, alors v_p ≠ 0 donc v_p+1 est de même signe que v_p, d'où v_p+1 < 0.

Donc pour tout n ∈ ℕ, v_n < 0.

Conclusion :

Pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 − u_n < 0, c'est-à-dire u_n+1 < u_n : la suite U est strictement décroissante.