XI Approche intuitive de la limite

Que deviennent les termes u_n d'une suite quand n devient très grand ? Ils peuvent se rapprocher d'un nombre, devenir aussi grands que l'on veut, ou ne se stabiliser nulle part.

Dans ce chapitre, nous observons ces comportements sur des exemples, avec des calculs, des tableaux de valeurs et des graphiques.

1°) Observer les termes quand n devient grand

a) La suite (1/n)

b) La suite (n²)

c) La suite (2 + 1/n)

d) La suite ((−1)ⁿ)

2°) Vocabulaire

Reprenons les exemples du 1°) :

• (1/n) converge vers 0 : lim_n→+∞ 1/n = 0 ;
• (2 + 1/n) converge vers 2 : lim_n→+∞ (2 + 1/n) = 2 ;
• (n²) tend vers +∞ : elle diverge ;
• ((−1)ⁿ) n'a pas de limite : elle diverge aussi.

Remarque : « diverger » ne veut pas dire « tendre vers l'infini ». Une suite diverge soit parce qu'elle tend vers +∞ ou −∞, soit parce qu'elle n'a pas de limite du tout, comme ((−1)ⁿ).

On ne parle de limite d'une suite que lorsque n tend vers +∞, car n est un entier naturel.

3°) Limite de qⁿ selon la valeur de q

Les suites géométriques (qⁿ) sont très utilisées (voir le chapitre X). Observons leurs termes pour quatre valeurs de q.

Pour q = 2 : les termes doublent à chaque rang. Ils deviennent aussi grands que l'on veut : (2ⁿ) semble tendre vers +∞.

Pour q = 0,5 : les termes sont divisés par 2 à chaque rang. Ils restent positifs et se rapprochent de 0 : (0,5ⁿ) semble converger vers 0.

Pour q = −0,5 : les termes changent de signe à chaque rang, mais ils se rapprochent quand même de 0. En effet, (−0,5)ⁿ et 0,5ⁿ ont la même distance à 0. La suite semble converger vers 0.

Pour q = 1 : tous les termes sont égaux à 1. La suite est constante, elle converge vers 1.

Enfin, pour q = −2, on obtient 1, −2, 4, −8, 16, −32 ... Les termes changent de signe et s'éloignent de plus en plus de 0 : la suite n'a pas de limite.

Nous admettons ce résultat, observé sur les tableaux de valeurs. Il est démontré en Terminale.

4°) Un algorithme de seuil

La suite (0,9ⁿ) converge vers 0, car −1 < 0,9 < 1. Ses termes finissent donc par devenir plus petits que 0,001.

Cherchons le plus petit entier n tel que 0,9ⁿ < 0,001.

On part de u = 0,9⁰ = 1. Tant que u ≥ 0,001, on multiplie u par 0,9 et on ajoute 1 à n.

n = 0
u = 1
while u >= 0.001:
    u = u * 0.9
    n = n + 1
print(n)

Le programme affiche 66.

Vérifions à la calculatrice : 0,9⁶⁵ ≈ 0,00106, qui est encore supérieur à 0,001 ; et 0,9⁶⁶ ≈ 0,000955 < 0,001.

Le plus petit entier n tel que 0,9ⁿ < 0,001 est donc n = 66. Comme la suite est décroissante, on a aussi 0,9ⁿ < 0,001 pour tout n ≥ 66.

5°) Pour aller plus loin

Les définitions précises de la limite et les théorèmes sur les limites de suites sont étudiés dans le cours de Terminale. Les élèves curieux peuvent aussi lire le chapitre VII Convergence d'une suite vers zéro de ce cours, qui est hors programme en Première.

Exercices

Exercice XI.1

On considère les suites définies pour tout n ≥ 1 par :

u_n = (2n + 1) / (n + 1) = $\frac{2n+1}{n+1}$ ; v_n = 5 − n ; w_n = 1 + (−1)ⁿ / n.

1) Calculer chaque suite pour n = 1, 10, 100 et 1000 (on donnera des valeurs arrondies au millième). Calculer aussi w₁₁ et w₁₀₁.

2) Conjecturer le comportement de chaque suite quand n devient grand.

Voir la correction

Exercice XI.2

Sans démonstration, en calculant quelques termes, conjecturer le comportement des suites (0,8ⁿ), (1,05ⁿ) et ((−1,2)ⁿ) quand n devient grand. Comparer avec la propriété du 3°).

Voir la correction

Exercice XI.3

Un capital est placé à intérêts composés au taux de 5 % par an. Il est donc multiplié par 1,05 chaque année.

1) Écrire un programme Python qui donne le plus petit entier n tel que 1,05ⁿ > 2.

2) Que signifie ce résultat pour le capital ?

Voir la correction

Corrections

Correction de l'exercice XI.1

1) Valeurs arrondies au millième :

w₁₁ = 1 − 1/11 ≈ 0,909 et w₁₀₁ = 1 − 1/101 ≈ 0,990.

2) Les termes u_n se rapprochent de 2 : la suite (u_n) semble converger vers 2.

Les termes v_n sont négatifs et deviennent aussi grands que l'on veut en valeur absolue : la suite (v_n) semble tendre vers −∞.

Les termes w_n sont tantôt au-dessus de 1 (n pair), tantôt en dessous (n impair). Mais l'écart avec 1 vaut 1/n, qui devient de plus en plus petit. La suite (w_n) semble converger vers 1, bien qu'elle ne soit pas monotone.

Retour à l'énoncé

Correction de l'exercice XI.2

0,8¹⁰ ≈ 0,107 ; 0,8⁵⁰ ≈ 0,0000143 ; 0,8¹⁰⁰ ≈ 0,0000000002. Les termes se rapprochent de 0 : la suite semble converger vers 0. C'est le cas −1 < q < 1.

1,05¹⁰ ≈ 1,63 ; 1,05⁵⁰ ≈ 11,47 ; 1,05¹⁰⁰ ≈ 131,5. Les termes grandissent lentement au début, puis de plus en plus vite : la suite semble tendre vers +∞. C'est le cas q > 1.

(−1,2)¹⁰ ≈ 6,19 ; (−1,2)¹¹ ≈ −7,43 ; (−1,2)⁵⁰ ≈ 9100 ; (−1,2)⁵¹ ≈ −10 921. Les termes changent de signe à chaque rang et s'éloignent de 0 : la suite n'a pas de limite. C'est le cas q ≤ −1.

Retour à l'énoncé

Correction de l'exercice XI.3

1) On part de u = 1,05⁰ = 1 et on multiplie par 1,05 tant que u ≤ 2.

n = 0
u = 1
while u <= 2:
    u = u * 1.05
    n = n + 1
print(n)

Le programme affiche 15. En effet, 1,05¹⁴ ≈ 1,980 ≤ 2 et 1,05¹⁵ ≈ 2,079 > 2.

2) Au bout de n années, le capital C₀ est devenu C₀ × 1,05ⁿ. Le capital a donc plus que doublé au bout de 15 ans, et pas avant. Voir aussi la page sur les intérêts composés.

Retour à l'énoncé