V Suites majorées, minorées et bornées
Soit (un)n≥a une suite à termes réels, elle est majorée (respectivement minorée) s'il existe une constante M (respectivement m) telle que pour tout entier n ≥ a on a un ≤ M (respectivement un ≥ m).
M est alors un majorant de la suite et m est alors un minorant de la suite.
La suite est bornée si elle est majorée et minorée, alors il existe une constante μ ≥ 0 telle que pour tout entier n ≥ a,
∣un∣ ≤ μ.
1) Comparaison directe de un à M ou à m
Soit U = (un)n≥0 telle que pour tout n ≥ 0 on a un = (2n + 1)÷(n + 1).
Montrer que la suite U est majorée par 2.
Pour tout entier n ≥ 0, un − 2 = −1 ÷ (n + 1) < 0.
Conclusion : pour tout entier n ≥ 0, un < 2 CQFD.
2) Suite donnée de manière explicite
Cette notion n'est plus au programme actuel de Terminale (spécialité mathématiques).
Par un = ƒ(n), ƒ étant une fonction numérique définie sur [a ; +∞[. L'étude des variations de ƒ sur son domaine permet éventuellement de trouver un majorant ou un minorant de ƒ sur [a ; +∞[ donc de la suite.
Soit U = (un)n≥0 telle que pour tout n ≥ 0 on a un = (3n − 5)÷(2n + 1)
et la fonction ƒ : ℝ → ℝ, x → ƒ(x) = on a Dƒ = ℝ\{−1/2}.
Pour tout entier n ≥ 0, un = ƒ(n) et on a [0 ; +∞[ ⊂ Dƒ.
Pour tout x ∈ Dƒ, ƒ'(x) == > 0 ;
donc ƒ est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
On a ƒ(0) = −5 et limx→+∞ƒ(x) = 3/2 donc ∀ x ∈ [0 ; +∞[, ƒ(x) ∈ [−5 ; 3/2].
Conclusion : la suite U est bornée, elle est majorée par 3/2 et minorée par −5.
3) Cas des suites récurrentes
Exemple
Soit U = (un)n≥0 définie par :
u0 = λ = constante ∈ [0 ; 1/2] et ∀ n ∈ ℕ, un+1 = un2 + un ÷ 2 = .
Montrons que ∀ n ∈ ℕ, un ∈ [0 ; 1/2].
Par récurrence :
Soit P(n) l'énoncé " un ∈ [0 ; 1/2] ".
P(0) est vrai.
Soit n un entier ≥ 0 quelconque tel que P(n) soit vrai, c'est-à-dire que 0 ≤ un ≤ 1/2 (hypothèse de récurrence).
Montrons que P(n+1) est vrai c'est-à-dire que 0 ≤ un+1 ≤ 1/2.
Démonstration :
Nous avons 0 ≤ un ≤ 1/2 ;
d'où 0 ≤ un2 ≤ 1/4 et aussi 0 ≤ un ÷ 2 ≤ 1/4 ;
d'où
0 ≤ un2 + un ÷ 2 ≤ 1/4 + 1/4 ;
0 ≤ un2 + un ÷ 2 ≤ 1/2 ;
0 ≤ un+1 ≤ 1/2 ;
donc P(n+1) est vrai.
Conclusion : P(0) est vrai et, pour tout entier n ≥ 0, P(n) implique P(n+1), donc l'énoncé de récurrence est vrai pour tout entier naturel n et nous avons montré que un ∈ [0 ; 1/2] pour tout n entier naturel.
Autre méthode :
La suite est récurrente, soit la fonction ƒ : ℝ → ℝ, x → ƒ(x) = x² + x/2, la suite est alors définie par :
u0 = λ = constante ∈ [0 ; 1/2] et ∀ n ∈ ℕ, un+1 = ƒ(un).
I = [0 ; 1/2].
Pour tout n entier naturel un ∈ [0 ; 1/2], il suffit de vérifier que :
u0 ∈ I et ƒ(I) ⊂ I c'est-à-dire ∀ x ∈ I, ƒ(x) ∈ I.
En effet, nous avons u0 ∈ [0 ; 1/2] et pour tout n ≥ 0 tel que un ∈ [0 ; 1/2] alors un+1 = ƒ(un) ∈ ƒ([0 ; 1/2]) ;
d'où un+1 ∈ ƒ([0 ; 1/2]).
Pour établir ƒ(I) ⊂ I, on étudie les variations de ƒ sur I. ƒ est continue et dérivable sur I.
∀ x ∈ I, ƒ'(x) = 2x + 1/2 > 0, donc ƒ est strictement croissante sur I donc ƒ(I) = [ƒ(0) ; ƒ(1/2)] = [0 ; 1/2] ;
donc ƒ(I) ⊂ I CQFD.
Conclusion : on a bien ∀ n ∈ ℕ, 0 ≤ un ≤ 1/2 la suite est bornée.
4) Généralisation
Cette notion n'est plus au programme actuel de Terminale (spécialité mathématiques).
Soit U = (un)n≥a la suite à termes réels définie par son premier terme ua et par la relation :
∀ n ≥ a, un+1 = ƒ(un), ƒ étant une fonction numérique donnée.
Si nous voulons montrer que pour tout entier n ≥ a, un ∈ I, I étant un intervalle donné inclus dans le domaine de définition de ƒ,
nous pouvons utiliser la méthode suivante :
i) Vérifier que ua ∈ I ;
ii) Vérifier si ƒ(I) ⊂ I par exemple en étudiant les variations de ƒ sur I ou grâce à une récurrence.