III Détermination d'une suite à termes réels ou complexes

1) Suite définie par une formule explicite

Soit a un entier naturel donné et ƒ une fonction de variable réelle à valeurs dans ℝ (respectivement dans $ℂ$) telle que son domaine de définition contienne tous les entiers ≥ a, nous pourrons définir une suite (u_n)_n≥a par la relation suivante : pour tout entier n ≥ a, u_n = ƒ(n).

2) Suite définie par une relation de récurrence

Une suite (u_n)_n≥a à termes réels (respectivement complexes) est déterminée de manière unique lorsque l'on se donne son premier terme u_a = λ, λ étant un réel (respectivement complexe) donné, et la relation de récurrence : pour tout entier n ≥ a, u_n+1 = φ(u_n), φ étant une fonction de ℝ dans ℝ (respectivement de $ℂ$ dans $ℂ$).

Exemple

Soit U la suite numérique (u_n)_n≥0 définie par : u₀ = 1 et ∀ n ∈ $\mathbb{N}$, u_n+1 = u_n÷3 + 2.

Soit la fonction φ : ℝ → ℝ, x → φ(x) = $\frac{x}{3}+2$ et ∀ n ∈ $\mathbb{N}$, u_n+1 = φ(u_n).

u₀ = 1 ;

u₁ = φ(u₀) = φ(1) = 1/3 + 2 = 7/3 ;

u₂ = φ(u₁) = φ(7/3) = 7/9 + 2 = 25/9 ;

u₃ = φ(u₂) = φ(25/9) = 25/27 + 2 = 79/27 ;

u₄ = φ(u₃) = φ(79/27) = 79/81 + 2 = 241/81.

Ici la droite d'équation y = x/3 + 2 et la droite d'équation y = x se coupent en A(3 ; 3).

Nous lisons les valeurs de u₀, u₁, u₂ sur l'axe des abscisses en procédant comme suit.

Marquer en abscisse le premier terme, ici u₀ = 1 ; u₁ = φ(u₀) est l'ordonnée du point M₀ d'abscisse u₀. Nous reportons cette ordonnée grâce à la droite y = x. Soit N₁ le point d'ordonnée u₁ de la droite y = x, donc d'abscisse u₁ également.

u₂ = φ(u₁) est l'ordonnée du point M₁ d'abscisse u₁ et N₂ est le point d'ordonnée u₂ de la droite y = x, donc d'abscisse u₂ également.

La lecture du graphique permet de conjecturer que : u₀ < u₁ < u₂ < u₃ < 3, nous pouvons penser que la suite est strictement croissante et majorée par 3 et nous pouvons penser aussi que lim_n→+∞u_n = 3.