VI Suites réelles monotones
Soit U = (un)n≥a une suite à termes réels.
La suite U est croissante si, quels que soient les entiers n, p tels que a ≤ n ≤ p, on a : un ≤ up, c'est-à-dire pour tout n ≥ a, un ≤ un+1.
La suite U est strictement croissante si, quels que soient les entiers n, p tels que a ≤ n < p, on a : un < up, c'est-à-dire pour tout n ≥ a, un < un+1.
La suite U est décroissante si, quels que soient les entiers n, p tels que a ≤ n ≤ p, on a : un ≥ up, c'est-à-dire pour tout n ≥ a, un ≥ un+1.
La suite U est strictement décroissante si, quels que soient les entiers n, p tels que a ≤ n < p, on a : un > up, c'est-à-dire pour tout n ≥ a, un > un+1.
La suite U est constante ou stationnaire si pour tout entier n ≥ a, un = constante, c'est-à-dire que pour tout n ≥ a, un = un+1.
1) Méthodes d'étude de la monotonie d'une suite
Étude directe du signe de un+1 − un.
A)
Soit (un)n≥0 une suite à termes réels définie par un = −2n² − 4n + 5.
∀ n ∈ ℕ, un+1 − un = [−2(n+1)² − 4(n+1) + 5] − [−2n² − 4n + 5] = −4n − 6.
∀ n ∈ ℕ, un+1 − un < 0 donc la suite U est strictement décroissante.
b)
U = (un)n≥2 définie par u2 = 2 et ∀ n ≥ 2, un+1 = un + 2n/(n−1).
Pour tout n ≥ 2, un+1 − un = 2n/(n−1) > 0 donc la suite U est strictement croissante.
2) Cas d'une suite définie de manière explicite
Soit (un)n≥a une suite à termes réels définie par un = ƒ(n) où ƒ est une fonction définie sur [a ; +∞[. Si ƒ est monotone sur [a ; +∞[, la suite est alors monotone et son sens de variation est celui de ƒ.
La suite (un)n≥1 est définie par un = n − ln(n), pour tout entier n ≥ 1, un = ƒ(n) où ƒ est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par ƒ(x) = x − ln(x). On étudie le sens de variation de ƒ sur [1 ; +∞[.
ƒ est dérivable sur [1 ; +∞[, ƒ'(1) = 0 et ∀ x > 1, ƒ'(x) = 1 − 1/x > 0, donc ƒ est strictement croissante sur [1 ; +∞[ donc la suite (un)n≥1 est strictement croissante.
3) Cas d'une suite à termes strictement positifs
Cette notion n'est plus au programme actuel de Terminale (spécialité mathématiques) : le critère du quotient relève de la Première, et la factorielle n! n'est plus au programme.
Soit U = (un)n≥a une suite à termes réels, telle que pour tout entier n ≥ a, un > 0, alors :
- la suite (un)n≥a est croissante si pour tout entier n ≥ a, un+1 / un = ≥ 1 ;
- la suite (un)n≥a est décroissante si pour tout entier n ≥ a, un+1 / un = ≤ 1.
Soit U = (un)n≥1 avec un = 10n/n! = .
∀ n ≥ 1, un > 0.
∀ n ≥ 1, un+1 / un = 10n+1/(n+1)! / 10n/n! = 10n+1/(n+1)! × n!/10n = 10/(n+1).
Or 10/(n+1) > 1 ⇔ 10 > n+1 ⇔ 9 > n ⇔ n ≤ 8.
Et 10/(n+1) < 1 ⇔ 10 < n+1 ⇔ 9 < n ⇔ n ≥ 10.
D'où pour tout n ≥ 10, < 1 et la suite (un)n≥10 est strictement décroissante.
Exemple 2
Soit la suite (un)n≥0 une suite à termes réels vérifiant ∀ n ≥ 0, un+1 = 1/5 un + 10.
a) Comment faut-il choisir u0 pour que la suite soit constante ?
Nous avons une suite, ∀ n ∈ ℕ, un+1 = ƒ(un), ƒ étant la fonction définie pour tout x ∈ ℝ, par la relation ƒ(x) = 1/5 x + 10.
Nous voulons que la suite soit constante, c'est-à-dire que ∀ n ∈ ℕ, un = u0.
Étude directe
Si la suite est constante alors u1 = u0 et alors ƒ(u0) = u0 donc u0 est une solution de l'équation ƒ(x) = x.
Étude réciproque
Nous supposons que k = u0, k est solution de l'équation ƒ(x) = x.
La suite est-elle constante ? A-t-on ∀ n ∈ ℕ, un = k ?
Récurrence :
On a u0 = k par hypothèse.
Si p est un entier ≥ 0 tel que up = k alors up+1 = ƒ(up) = ƒ(k) = k, car k est solution de ƒ(x) = x.
On a bien ∀ n ∈ ℕ, un = k la suite est constante.
Conclusion : la suite est constante si et seulement si u0 est solution de ƒ(x) = x c'est-à-dire ici u0 = 12,5.
b) Supposons que u0 = 15 donc ƒ(u0) ≠ u0 et de là u1 ≠ u0.
u1 = 1/5 × 15 + 10 = 3 + 10 = 13 < u0.
Montrons que la suite est strictement monotone.
Soit la suite (vn)n≥0 définie par la relation ∀ n ∈ ℕ, vn = un+1 − un.
Étudions le signe de la suite (vn)n≥0 quel que soit n.
On a v0 = u1 − u0 < 0, montrons que ∀ n ∈ ℕ, vn < 0.
Méthode générale : comparons les signes de vn et vn+1.
Pour tout n ∈ ℕ, on a vn+1 = un+2 − un+1 = (1/5 un+1 + 10) − ( 1/5 un + 10) = 1/5(un+1 − un).
On a ∀ n ∈ ℕ, vn+1 = 1/5 vn avec 1/5 > 0.
Donc ∀ n ∈ ℕ, tel que vn ≠ 0, vn+1 est non nul de même signe que vn.
On a v0 = u1 − u0 < 0, d'où v1 < 0, d'où v2 < 0, etc.
Par récurrence nous obtenons ∀ n ∈ ℕ, vn < 0, donc la suite est strictement décroissante.