VI bis Exercices sur les limites des suites
Cette page relève aujourd'hui de la Terminale (spécialité mathématiques) : en Première, la limite est seulement abordée de façon intuitive.
Exercices
Déterminer, si elle existe, la limite des suites suivantes :
Exercice VI bis.1
1°) (un)n≥0 définie par la relation suivante : un = 5n7.
Exercice VI bis.2
2°) (un)n≥0 définie par la relation suivante : un = −7 × 5n.
Exercice VI bis.3
3°) (un)n≥0 définie par la relation suivante : un = 5n3 − 3n² − 5n − 7.
Exercice VI bis.4
4°) (un)n≥6 définie par la relation suivante : un = [2n² + 3n − 5]/[5 − n].
Exercice VI bis.5
5°) (un)n≥0 définie par la relation suivante : un = 3n² − 5n + 3sin(nπ/3) = .
Exercice VI bis.6
6°) (un)n≥6 définie par la relation suivante : un = 37 − 2n − 3 × 11n.
Exercice VI bis.7
7°) (un)n≥0 définie par la relation suivante : un = 3√(n³ + 1) + 5 × 21n + 3 = .
Corrections
Correction de l'exercice VI bis.1
On a limn→+∞ n7 = +∞, comme 5 est une constante > 0 on obtient limn→+∞ un = +∞.
Correction de l'exercice VI bis.2
5 est une constante > 1 alors limn→+∞ 5n = +∞, d'où limn→+∞ un = −∞.
Correction de l'exercice VI bis.3
Soit la fonction numérique ƒ : x → ƒ(x) = 5x3 − 3x² − 5x − 7 définie sur l'ensemble des réels telle que pour tout n ≥ 0, un = ƒ(n).
Or limx→+∞ ƒ(x) = +∞ donc limn→+∞ un = +∞.
Correction de l'exercice VI bis.4
Soit la fonction ƒ : x → ƒ(x) = [2x² + 3x − 5]/[5 − x] = définie sur ]−∞ ; 5[ ∪ ]5 ; +∞[, donc sur [6 ; +∞[, telle que pour tout n ≥ 6, un = ƒ(n).
Déterminons la limite de la fonction pour trouver la limite de la suite.
Comme nous avons limx→+∞ ƒ(x) = −∞ alors limn→+∞ un = −∞.
Correction de l'exercice VI bis.5
On utilise la technique de majoration et minoration pour trouver la limite.
Pour tout n ∈ , −1 ≤ sin(nπ/3) ≤ 1 d'où −3 ≤ 3sin(nπ/3) ≤ 3 ou encore ;
et de là 3n² − 5n − 3 ≤ un ≤ 3n² − 5n + 3.
Or limn→+∞ (3n² − 5n − 3) = +∞ donc limn→+∞ un = +∞.
Correction de l'exercice VI bis.6
Première méthode pour trouver la limite de la suite : majorer la suite.
Pour tout n ≥ 19, on a 37 − 2n ≤ 37 − 38 = −1 < 0, donc un = (37 − 2n) − 3 × 11n ≤ −3 × 11n.
Or 11 est une constante > 1, donc limn→+∞ 11n = +∞ et limn→+∞ (−3 × 11n) = −∞.
Comme pour tout n ≥ 19, −3 × 11n ≥ un et limn→+∞ (−3 × 11n) = −∞, on obtient limn→+∞ un = −∞ (théorème c).
Correction de l'exercice VI bis.7
On a limn→+∞ (n³ + 1) = +∞, de là limn→+∞ 3√(n³ + 1) = +∞.
On a limn→+∞ (21n) = +∞ car 21 > 1, de là limn→+∞ (5 × 21n + 3) = +∞ ;
d'où limn→+∞ un = +∞.