I Définitions et notations, mode de génération d'une suite

1°) Définition

Une application numérique u, définie sur une partie I de ℕ et à valeurs dans ℝ, est appelée une suite numérique (ou à termes réels) définie sur I.

Remarque : dans le cas d'une suite, la variable n est un entier naturel.

2°) Notation indicielle

I une partie de ℕ.

u est une suite numérique définie sur I, pour tout entier n élément de I (n entier naturel), u(n) = u_n et la suite u est notée u = (u_n)_n∈I appelée suite de terme général u_n définie sur I (ou indexée par I).

Remarque : dans cette écriture, n est une lettre muette (interchangeable), nous pouvons écrire u = (u_p)_p∈I ou u = (u_k)_k∈I.

En pratique : nous prendrons comme partie I de ℕ l'ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à un entier naturel donné m, soit I = {n ∈ ℕ / n ≥ m}.

La suite de terme général u_n définie sur I est alors notée u = (u_n)_n≥m.

Les nombres u_m, u_m+1, u_m+2, u_m+3, u_m+4 sont les termes successifs de la suite :

u_m premier terme ;

u_m+1 deuxième terme ;

u_m+2 troisième terme ...

(u_n)_n∈ℕ = (u_n)_n≥0 suite de premier terme u₀ ;
(u_n)_n∈ℕ* = (u_n)_n≥1 suite de premier terme u₁.

Soit la suite (u_n)_n≥6 définie par u_n = √(3n − 17). C'est l'application u de I = {6, 7, 8, 9, ...} dans ℝ l'ensemble des réels, qui à tout n élément de I fait correspondre u_n = √(3n − 17).

Premier terme u₆ = √(3 × 6 − 17) = 1 ;

deuxième terme u₇ = √(3 × 7 − 17) = 2 ;

troisième terme u₈ = √(3 × 8 − 17) = √7.

Quelle sera la valeur du 99^e terme ?

Pour répondre à cette question il faut connaître l'indice du 99^e terme, c'est-à-dire la valeur k telle que le 99^e terme soit u_k.

Remarque : soient a, b deux entiers tels que a ≤ b, le nombre d'entiers de l'ensemble {a, a+1, …, b} est égal à (b − a + 1). Donc, étant donné la suite (u_n)_n≥a, a entier donné, de premier terme u_a et k un entier naturel ≥ a, u_k est le (k − a + 1)^e terme de la suite.

Sur l'exemple, a = 6 et u_k est le 99^e terme si (k − a + 1) = 99, alors (k − 6 + 1) = 99 et k = 104.

Le 99^e terme est u₁₀₄ = √(3 × 104 − 17) = √295.
Soit la suite (v_p)_p∈ℕ définie par v_p = p² + 3p ;

c'est l'application :

ℕ → ℝ

p → v_p = p² + 3p.

Premier terme v₀ = 0 ;

deuxième terme v₁ = 4 ;

troisième terme v₂ = 10 ;

100^e terme v₉₉ = 10098.

Pour tout p ∈ ℕ, calculer v_p+1.

v_p+1 = (p+1)² + 3(p+1) = p² + 2p + 1 + 3p + 3 = p² + 5p + 4.

v_p+1 − v_p = p² + 5p + 4 − (p² + 3p) = 2p + 4 > 0 pour p élément de ℕ.

Pour tout n élément de ℕ nous obtenons v_n < v_n+1, donc v₀ < v₁ < v₂ < v₃ < v₄ < ...

La suite est dite strictement croissante.

Pour tout k entier ≥ 8, calculer v_{7k − 55}.

(v_p n'a de sens que si p est supérieur ou égal à 0, donc 7k − 55 ≥ 0 d'où k ≥ 8)

v_{7k − 55} = (7k − 55)² + 3(7k − 55) = 49k² − 770k + 3025 + 21k − 165 = 49k² − 749k + 2860.

3°) Mode de génération d'une suite

Soit a un entier naturel fixé.

Soit u = (u_n)_n≥a une suite de premier terme u_a.

a) La suite peut être définie de manière explicite, c'est-à-dire en donnant l'expression de u_n en fonction de n.

b) En pratique :

ƒ étant une fonction numérique définie sur l'intervalle [a ; +∞[ de ℝ, on pourra définir une suite (u_n)_n≥a en posant pour tout entier n ≥ a : u_n = ƒ(n).

Soit la suite (u_n)_n≥0 de terme général u_n = (n² − 1)÷(n² + 1). Soit la fonction définie sur ℝ par ƒ(x) = (x² − 1)÷(x² + 1), alors pour tout n élément de ℕ, u_n = ƒ(n).

c) La suite peut être définie de manière récurrente.

Nous pourrons définir de manière unique la suite (u_n)_n≥a en se donnant la valeur du premier terme u_a et en donnant la condition : pour tout entier n ≥ a, u_n+1 = ƒ(u_n).

La suite (u_n)_n∈ℕ est définie par u₀ = 0 et pour tout entier n ≥ 0, u_n+1 = 3u_n − 2 (formule de récurrence).

Soit la fonction numérique ƒ définie sur ℝ par ƒ(x) = 3x − 2, nous avons ainsi pour tout entier n ≥ 0, u_n+1 = ƒ(u_n).

u₀ = 0 ;

u₁ = 3u₀ − 2 = −2 ;

u₂ = 3u₁ − 2 = −8 ;

u₃ = 3u₂ − 2 = −26 ;

...

Pour tout entier n ≥ 2, calculons u_n en fonction de u_n−2.

u_n = 3u_n−1 − 2 = 3(3u_n−2 − 2) − 2 puisque u_n−1 = 3u_n−2 − 2 d'après la formule de récurrence, d'où on obtient :

u_n = 9u_n−2 − 8.

4°) Mode de génération par un motif ou par un algorithme

a) Suite définie par un motif

Une suite peut aussi être donnée par un motif géométrique que l'on prolonge étape par étape.

On construit des carrés alignés avec des allumettes. Deux carrés voisins ont un côté commun.

On note u_n le nombre d'allumettes nécessaires pour construire n carrés alignés, n entier ≥ 1.

Pour 1 carré il faut 4 allumettes : u₁ = 4.

Pour 2 carrés on ajoute 3 allumettes, car le côté commun est déjà posé : u₂ = 4 + 3 = 7.

Pour 3 carrés on ajoute encore 3 allumettes : u₃ = 7 + 3 = 10.

Pour 4 carrés : u₄ = 10 + 3 = 13.

Chaque nouveau carré demande 3 allumettes, donc pour tout entier n ≥ 1, u_n+1 = u_n + 3.

On remarque :

u₁ = 4 = 3 × 1 + 1 ;

u₂ = 7 = 3 × 2 + 1 ;

u₃ = 10 = 3 × 3 + 1 ;

u₄ = 13 = 3 × 4 + 1.

En effet, il faut une première allumette (le côté gauche du premier carré), puis 3 allumettes par carré. On obtient l'expression explicite : pour tout entier n ≥ 1, u_n = 3n + 1.

Par exemple, pour 50 carrés alignés il faut u₅₀ = 3 × 50 + 1 = 151 allumettes.

b) Suite définie par un algorithme

Une suite peut enfin être donnée par un algorithme qui calcule ses termes les uns après les autres.

La suite (u_n)_n∈ℕ est définie par u₀ = 2 et pour tout entier n ≥ 0, u_n+1 = 3u_n − 1.

Calculons à la main les premiers termes :

u₀ = 2 ;

u₁ = 3u₀ − 1 = 3 × 2 − 1 = 5 ;

u₂ = 3u₁ − 1 = 3 × 5 − 1 = 14 ;

u₃ = 3u₂ − 1 = 3 × 14 − 1 = 41 ;

u₄ = 3u₃ − 1 = 3 × 41 − 1 = 122 ;

u₅ = 3u₄ − 1 = 3 × 122 − 1 = 365.

La fonction Python suivante calcule le terme u_n de cette suite. On part de u = 2, puis on applique n fois la formule de récurrence.

def terme(n):
    u = 2
    for i in range(n):
        u = 3 * u - 1
    return u

print(terme(5))

Le programme affiche 365. C'est bien la valeur de u₅ calculée à la main.

Remarque : pour obtenir u₁₀₀ il suffit d'écrire terme(100) ; la machine fait les 100 calculs à notre place.

Exercices

Exercice I.1

Soit la suite (u_n)_n∈ℕ définie par la relation suivante :

pour tout n ∈ ℕ, u_n+1 = (u_n)² et u₀ = 4.

Pour tout n entier quelconque, calculer l'expression de u_n en fonction de n.

Voir la correction

Exercice I.2

On construit des triangles alignés avec des allumettes. Deux triangles voisins ont un côté commun.

Pour 1 triangle il faut 3 allumettes, pour 2 triangles il faut 5 allumettes, pour 3 triangles il faut 7 allumettes.

On note v_n le nombre d'allumettes nécessaires pour construire n triangles, n entier ≥ 1.

1) Calculer v₄. Exprimer v_n+1 en fonction de v_n.

2) Exprimer v_n en fonction de n. Combien faut-il d'allumettes pour 100 triangles ?

3) On dispose de 2025 allumettes. Combien de triangles peut-on construire au maximum ?

4) On considère le programme Python suivant. Qu'affiche-t-il ?

w = 1
for i in range(4):
    w = 2 * w + 3
print(w)

Voir la correction

Corrections

Correction de l'exercice I.1

Soit la fonction ƒ définie sur ℝ par ƒ(x) = x².

∀ n ∈ ℕ, u_n+1 = ƒ(u_n).

u₁ = ƒ(u₀) = 4² ;

u₂ = ƒ(u₁) = (4²)² = 4⁴ ;

u₃ = ƒ(u₂) = (4⁴)² = 4⁸ ;

u₄ = ƒ(u₃) = (4⁸)² = 4¹⁶ ;

u₅ = ƒ(u₄) = (4¹⁶)² = 4³² ;

u₆ = ƒ(u₅) = (4³²)² = 4⁶⁴ ;

u₇ = ƒ(u₆) = (4⁶⁴)² = 4¹²⁸ ;

...

Il faut remarquer :

1 = 2⁰ ; 2 = 2¹ ; 4 = 2² ; 8 = 2³ ; ... 128 = 2⁷ ;

Pour tout n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} on a u_n = 4^p où p est égal à 2ⁿ.

La démonstration par récurrence qui suit relève aujourd'hui du programme de Terminale (spécialité mathématiques).

Essayons de démontrer que pour tout n entier, on a u_n = 4^p où p est égal à 2ⁿ.

Raisonnons par récurrence.

On note P(n) l'énoncé « u_n = 4^p où p est égal à 2ⁿ », dans lequel la variable est n entier ≥ 0.

i) P(0) est vrai car on a u₀ = 4¹ et 1 = 2⁰.

ii) Soit n entier ≥ 0 tel que pour tout 0 ≤ k ≤ n, P(k) soit vrai, donc par hypothèse u_n = 4^p où p est égal à 2ⁿ.

P(n+1) est-il vrai ? c'est-à-dire a-t-on u_n+1 = 4^p où p est égal à 2ⁿ⁺¹ ?

On a :

u_n+1 = (u_n)² c'est la définition de la suite ;

d'où :

u_n+1 = (4^m)² où m est égal à 2ⁿ d'après l'hypothèse de récurrence ;

u_n+1 = 4^2m où m est égal à 2ⁿ, on a 2m = 2 × 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ ;

u_n+1 = 4^p où p est égal à 2ⁿ⁺¹.

P(n+1) est donc vrai.

Si n entier ≥ 0 est tel que P(n) soit vrai alors nécessairement P(n+1) est vrai aussi.

Conclusion :

P(0) est vrai alors P(1) est vrai ;

P(1) est vrai alors P(2) est vrai ;

P(2) est vrai alors P(3) est vrai ;

etc.

P(n) est donc vrai pour tout entier n ≥ 0 : on a u_n = 4^p où p est égal à 2ⁿ, pour tout n ∈ ℕ.

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Correction de l'exercice I.2

1) Pour passer de n triangles à n + 1 triangles, on ajoute 2 allumettes, car un côté est déjà posé.

v₄ = v₃ + 2 = 7 + 2 = 9.

Pour tout entier n ≥ 1, v_n+1 = v_n + 2.

2) On remarque :

v₁ = 3 = 2 × 1 + 1 ;

v₂ = 5 = 2 × 2 + 1 ;

v₃ = 7 = 2 × 3 + 1 ;

v₄ = 9 = 2 × 4 + 1.

Il faut une première allumette, puis 2 allumettes par triangle, donc pour tout entier n ≥ 1, v_n = 2n + 1.

Pour 100 triangles : v₁₀₀ = 2 × 100 + 1 = 201 allumettes.

3) On cherche le plus grand entier n tel que v_n ≤ 2025.

2n + 1 ≤ 2025 ⇔ 2n ≤ 2024 ⇔ n ≤ 1012.

On peut construire au maximum 1012 triangles. On utilise alors v₁₀₁₂ = 2 × 1012 + 1 = 2025 allumettes, c'est-à-dire toutes les allumettes.

4) Le programme calcule les termes de la suite (w_n)_n∈ℕ définie par w₀ = 1 et w_n+1 = 2w_n + 3. La boucle est parcourue 4 fois :

w₁ = 2 × 1 + 3 = 5 ;

w₂ = 2 × 5 + 3 = 13 ;

w₃ = 2 × 13 + 3 = 29 ;

w₄ = 2 × 29 + 3 = 61.

Le programme affiche 61, c'est le terme w₄.

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