IV Suites majorées et minorées
Cette page relève aujourd'hui du programme de Terminale (spécialité mathématiques).
1°) Définition des suites majorées et minorées
Soit a un entier naturel fixé, la suite (un)n≥a est une suite à termes réels.
a) Suite majorée et minorée
La suite est majorée (respectivement minorée) s'il existe une constante M (respectivement une constante m) telle que pour tout entier n ≥ a, on a un ≤ M (respectivement un ≥ m).
b) Suite bornée
La suite (un)n≥a est bornée si la suite est majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe une constante μ ≥ 0 telle que pour tout entier n ≥ a, on a |un| ≤ μ.
La suite (un)n>0 définie pour tout entier naturel n ≥ 1 par un = 1/n. Cette suite est-elle majorée ? ou minorée ?
La suite est minorée par 0 car pour tout entier naturel n ≥ 1 on a un > 0.
La suite est majorée par 1 car pour tout entier naturel n ≥ 1 on a un ≤ 1.
La suite (vn)n≥0 définie par : pour tout n ≥ 0, vn = (n² − 1)÷(n² + 1). Cette suite est-elle majorée ? ou minorée ?
Soit la fonction ƒ qui à tout x associe ƒ(x) = (x² − 1)÷(x² + 1), définie sur ℝ, telle que pour tout n entier naturel vn = ƒ(n).
Il faut étudier la fonction ƒ sur [0 ; +∞[. ƒ est une fonction continue et dérivable sur [0 ; +∞[.
On a pour tout x de [0 ; +∞[, ƒ′(x) = 4x÷(x² + 1)², la dérivée ƒ′ est du signe de 4x sur l'ensemble [0 ; +∞[, donc nulle en 0 et strictement positive sur ]0 ; +∞[.
La fonction ƒ est donc strictement croissante sur [0 ; +∞[ et croît de −1 à 1, on a donc pour tout x élément de [0 ; +∞[, −1 ≤ ƒ(x) ≤ 1 ;
d'où l'on peut déduire pour tout n entier naturel, −1 ≤ ƒ(n) ≤ 1 ;
et de là pour tout n entier naturel, −1 ≤ vn ≤ 1.
Généralisation
Soit (un)n≥a une suite numérique telle qu'il existe une fonction numérique ƒ définie sur [a ; +∞[ telle que pour tout entier naturel n ≥ a on ait un = ƒ(n).
Pour savoir si la suite est majorée ou minorée il pourra être utile de dresser le tableau de variation de ƒ sur [a ; +∞[.
La suite (un)n≥0 définie par :
u0 = 1 et pour tout n entier naturel un+1 = un ÷ 3 + 2.
Montrer que la suite est minorée par 1 et majorée par 3, c'est-à-dire que pour tout entier naturel n nous ayons : 1 ≤ un ≤ 3.
Raisonnement par récurrence.
Soit P(n) l'énoncé « 1 ≤ un ≤ 3 » dont on veut démontrer qu'il est vrai pour tout entier n ≥ 0.
- P(0) est vrai, car nous avons 1 ≤ u0 = 1 ≤ 3.
-
Soit n entier ≥ 0 tel que P(n) soit vrai, c'est-à-dire que par hypothèse on ait 1 ≤ un ≤ 3.
P(n+1) est-il vrai ? c'est-à-dire a-t-on 1 ≤ un+1 ≤ 3 ?
Par définition on sait que : un+1 = un ÷ 3 + 2.
D'où :
1 ≤ un ≤ 3 ;
1/3 ≤ un ÷ 3 ≤ 1 ;
7/3 ≤ un ÷ 3 + 2 ≤ 3 ;
d'où l'on déduit :
1 ≤ 7/3 ≤ un+1 ≤ 3 donc P(n+1) est vrai.
Conclusion : P(n) est vrai pour tout entier n ≥ 0 et donc la suite (un)n≥0 est bien minorée par 1 et majorée par 3.