IX Représentation graphique d'une suite

Une suite (u_n) associe à chaque entier naturel n un nombre réel u_n. Comme pour une fonction, nous pouvons la représenter dans un repère.

1°) Le nuage de points d'une suite

On place le rang n en abscisse et le terme u_n en ordonnée.

La suite n'est définie que pour des entiers. Il n'y a rien entre le point d'abscisse 2 et le point d'abscisse 3. On ne relie donc pas les points : on obtient un nuage de points, et non une courbe.

a) Une suite arithmétique

Quand on passe d'un rang au suivant, on avance de 1 vers la droite et on monte toujours de 2 (la raison). Les points sont donc alignés.

Ils sont sur la droite d'équation y = 2x + 1, c'est-à-dire la représentation graphique de la fonction affine x → 2x + 1.

Les points qui représentent une suite arithmétique de raison r sont alignés, sur une droite de coefficient directeur r.

Si r > 0 les points montent, si r < 0 ils descendent, si r = 0 ils sont sur une droite horizontale.

b) Une suite géométrique

Cette fois, on monte de 1, puis de 2, puis de 4, de 8, de 16, de 32. Les écarts entre deux termes consécutifs ne sont pas constants : ils doublent à chaque rang.

Les points ne sont pas alignés. Ils montent de plus en plus vite.

Remarque : quand la raison q est comprise entre 0 et 1, par exemple q = 0,5, les points d'une suite géométrique à termes positifs descendent, de moins en moins vite, et se rapprochent de l'axe des abscisses.

2°) Lire le graphique : sens de variation et conjecture

Sur le nuage de points, on peut lire le sens de variation de la suite (voir le chapitre V Suites monotones) :

• si chaque point est plus haut que le précédent, la suite semble croissante ;
• si chaque point est plus bas que le précédent, la suite semble décroissante ;
• si tous les points sont à la même hauteur, la suite semble constante.

Sur les deux exemples du 1°), les points montent : les suites (2n + 1) et (2ⁿ) semblent croissantes. Ici, le calcul le confirme : u_n+1 − u_n = 2 > 0 et v_n+1 − v_n = 2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ = 2ⁿ > 0.

Ce que l'on lit sur un graphique s'appelle une conjecture : c'est une affirmation qui semble vraie, mais qui n'est pas démontrée.

Un graphique ne démontre rien. Il permet de faire une conjecture, qu'il faut ensuite démontrer par le calcul.

En effet, un graphique ne montre qu'un nombre fini de points. Il ne dit rien sur les termes que l'on n'a pas placés.

La conjecture « la suite est croissante » était fausse. Les points montent jusqu'au rang 6, puis ils redescendent.

Démontrons-le avec la troisième méthode du chapitre V. Pour tout n ≥ 1, w_n > 0 et

w_n+1 / w_n = [(n+1) × 0,85ⁿ⁺¹] / [n × 0,85ⁿ] = 0,85(n+1) / n.

w_n+1 / w_n < 1 ⇔ 0,85(n+1) < n ⇔ 0,85n + 0,85 < n ⇔ 0,85 < 0,15n ⇔ n > 0,85 / 0,15 ≈ 5,67.

Donc pour tout n ≥ 6, w_n+1 < w_n : la suite est décroissante à partir du rang 6.

Et pour 1 ≤ n ≤ 5, w_n+1 > w_n ; de plus w₀ = 0 < w₁. Le plus grand terme est w₆ ≈ 2,263.

Le graphique nous a donné une bonne idée, mais seul le calcul permet de conclure.

3°) Représentation d'une suite récurrente u_n+1 = ƒ(u_n)

Soit ƒ une fonction et (u_n) la suite définie par son premier terme u₀ et la relation u_n+1 = ƒ(u_n).

On peut placer les termes u₀, u₁, u₂, ... sur l'axe des abscisses, sans les calculer, à l'aide de deux tracés :

• la courbe de la fonction ƒ ;
• la droite d'équation y = x.

a) La méthode

On part de u₀ sur l'axe des abscisses.

On monte (ou on descend) verticalement jusqu'à la courbe de ƒ : on arrive au point d'ordonnée ƒ(u₀) = u₁.

On se déplace horizontalement jusqu'à la droite y = x : on arrive au point de coordonnées (u₁ ; u₁). Son abscisse est u₁.

On recommence à partir de u₁ : verticalement jusqu'à la courbe, on obtient u₂ = ƒ(u₁), puis horizontalement jusqu'à la droite, et ainsi de suite.

La droite y = x sert à reporter chaque terme de l'axe des ordonnées sur l'axe des abscisses.

b) Un exemple

Le tracé forme des marches d'escalier. On parle de construction « en escalier ».

Les termes u₀, u₁, u₂, ... avancent sur l'axe des abscisses vers la droite : la suite semble croissante.

Les marches sont de plus en plus petites, et elles s'arrêtent presque au point où la droite de ƒ coupe la droite y = x.

Cherchons ce point : 0,5x + 2 = x ⇔ 2 = 0,5x ⇔ x = 4. C'est le point (4 ; 4).

Conjecture : les termes de la suite s'approchent de 4, sans jamais le dépasser.

Les valeurs calculées vont dans ce sens : 0 ; 2 ; 3 ; 3,5 ; 3,75 ; 3,875 ... L'écart avec 4 est divisé par 2 à chaque rang : 4, 2, 1, 0,5, 0,25, 0,125 ...

Remarque : lorsque la fonction ƒ est décroissante, le tracé tourne autour du point d'intersection, comme une spirale. On parle alors de construction « en escargot ». Dans ce cas les termes sont placés alternativement d'un côté et de l'autre du point d'intersection.

4°) Calculer les termes avec un tableur, une calculatrice ou un programme

a) Au tableur

Reprenons la suite u₀ = 0 et u_n+1 = 0,5u_n + 2.

Dans la colonne A on écrit les rangs : en A2 on tape 0, en A3 on tape =A2+1, puis on recopie vers le bas.

Dans la colonne B on écrit les termes : en B2 on tape 0 (c'est u₀), en B3 on tape =0,5*B2+2, puis on recopie vers le bas.

Chaque cellule de la colonne B est calculée à partir de la cellule qui est juste au-dessus : c'est exactement la relation de récurrence.

On obtient le tableau suivant, puis on peut tracer le nuage de points avec un graphique « nuage de points » (et non « courbe »).

b) À la calculatrice

Les calculatrices ont un mode « suite » (ou « récurrence »). On entre u_n+1 = 0,5u_n + 2 et u₀ = 0. On obtient la table des valeurs et le nuage de points.

c) Avec un programme

Le programme suivant calcule les termes u₀ à u₅ et range les points (n, u_n) dans une liste.

u = 0
points = []
for n in range(6):
    points.append((n, u))
    u = 0.5 * u + 2
print(points)

À chaque tour de boucle, on ajoute le point (n, u) à la liste, puis on remplace u par le terme suivant.

Le programme affiche : [(0, 0), (1, 2.0), (2, 3.0), (3, 3.5), (4, 3.75), (5, 3.875)]. Ce sont les coordonnées des points à placer dans le repère (Python écrit les nombres décimaux avec un point).

Exercices

Exercice IX.1

Soit la suite (u_n)_n≥0 définie par u_n = 3 − 0,5n.

1) Calculer u₀, u₁, ..., u₆.

2) Que peut-on dire des points (n ; u_n) ? Sur quelle droite sont-ils ?

3) Quel est le sens de variation de la suite ? Le démontrer.

Voir la correction

Exercice IX.2

Soit la suite (u_n)_n≥0 définie par u₀ = 6 et u_n+1 = 0,5u_n + 1.

1) Calculer u₁, u₂, u₃ et u₄.

2) On trace la droite de la fonction ƒ(x) = 0,5x + 1 et la droite y = x. En quel point se coupent-elles ?

3) Décrire la construction en escalier à partir de u₀ = 6. Quelle conjecture peut-on faire ?

Voir la correction

Exercice IX.3

On considère le programme suivant.

points = []
for n in range(8):
    points.append((n, n**2 - 6*n + 10))
print(points)

1) Quelle suite (u_n) ce programme représente-t-il ? Qu'affiche-t-il ?

2) En plaçant les points, quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de la suite ?

3) Calculer u_n+1 − u_n et démontrer cette conjecture.

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Corrections

Correction de l'exercice IX.1

1) u₀ = 3 ; u₁ = 3 − 0,5 = 2,5 ; u₂ = 3 − 1 = 2 ; u₃ = 1,5 ; u₄ = 1 ; u₅ = 0,5 ; u₆ = 0.

2) Pour tout n ≥ 0, u_n+1 − u_n = 3 − 0,5(n+1) − (3 − 0,5n) = −0,5.

La suite est arithmétique de raison −0,5. Les points (n ; u_n) sont donc alignés.

Ils sont sur la droite d'équation y = 3 − 0,5x, qui passe par (0 ; 3) et (6 ; 0).

3) Les points descendent. Comme u_n+1 − u_n = −0,5 < 0 pour tout n, la suite est strictement décroissante.

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Correction de l'exercice IX.2

1) u₁ = 0,5 × 6 + 1 = 4 ;

u₂ = 0,5 × 4 + 1 = 3 ;

u₃ = 0,5 × 3 + 1 = 2,5 ;

u₄ = 0,5 × 2,5 + 1 = 2,25.

2) 0,5x + 1 = x ⇔ 1 = 0,5x ⇔ x = 2. Les deux droites se coupent au point (2 ; 2).

3) On part de 6 sur l'axe des abscisses. On descend verticalement jusqu'à la droite de ƒ, au point (6 ; 4). On va horizontalement jusqu'à la droite y = x, au point (4 ; 4) : son abscisse est u₁ = 4.

On descend jusqu'à la droite de ƒ au point (4 ; 3), puis on va horizontalement jusqu'au point (3 ; 3) : u₂ = 3. Et ainsi de suite.

L'escalier descend vers la gauche, avec des marches de plus en plus petites, vers le point (2 ; 2).

Conjecture : la suite est décroissante et ses termes s'approchent de 2.

Les calculs vont dans ce sens : 6 ; 4 ; 3 ; 2,5 ; 2,25 ... L'écart avec 2 vaut 4, 2, 1, 0,5, 0,25 : il est divisé par 2 à chaque rang.

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Correction de l'exercice IX.3

1) Le programme représente la suite définie par u_n = n² − 6n + 10, pour n allant de 0 à 7.

Il affiche : [(0, 10), (1, 5), (2, 2), (3, 1), (4, 2), (5, 5), (6, 10), (7, 17)].

2) Les points descendent de n = 0 à n = 3, puis ils remontent. Conjecture : la suite est décroissante jusqu'au rang 3, puis croissante à partir du rang 3.

3) Pour tout n ≥ 0,

u_n+1 − u_n = (n+1)² − 6(n+1) + 10 − (n² − 6n + 10) ;

u_n+1 − u_n = n² + 2n + 1 − 6n − 6 + 10 − n² + 6n − 10 = 2n − 5.

2n − 5 < 0 ⇔ n < 2,5 ⇔ n ≤ 2 : donc u₀ > u₁ > u₂ > u₃.

2n − 5 > 0 ⇔ n > 2,5 ⇔ n ≥ 3 : donc u₃ < u₄ < u₅ < ...

La suite est décroissante jusqu'au rang 3, puis strictement croissante à partir du rang 3. La conjecture est démontrée. Le plus petit terme est u₃ = 1.

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