VIII Convergence d'une suite vers un réel

1°) Définition

Cette définition relève aujourd'hui du programme de Terminale (spécialité mathématiques) ; en Première, la limite est seulement abordée de façon intuitive.

Soit la suite U = (u_n)_n≥a et δ une constante réelle. La suite U converge vers δ ou la suite a pour limite δ quand n tend vers +∞ et nous pouvons écrire lim_n→+∞ u_n = δ si :

u_n peut être rendu aussi proche que voulu de δ dès que l'on prend l'entier n suffisamment grand ; c'est-à-dire si la suite de terme général (u_n − δ)_n≥a converge vers 0.

Une suite réelle est dite convergente si elle admet une limite réelle δ. On dit qu'elle converge vers δ.

Si elle n'est pas convergente on dit que la suite est divergente.

2°) Théorèmes

Ces théorèmes relèvent aujourd'hui du programme de Terminale (spécialité mathématiques).

A) Si une suite admet une limite réelle (ou infinie), cette limite est unique.

B) Si ƒ est une fonction définie sur [a ; +∞[ telle que lim_x→+∞ ƒ(x) = δ, et si pour tout entier n ≥ a, u_n = ƒ(n), alors lim_n→+∞ u_n = δ.

Exercices

Exercice VIII.1

Cet exercice relève aujourd'hui de la Terminale (spécialité mathématiques).

U = (u_n)_n≥0 est la suite définie par ∀ n ∈ ℕ, u_n = (−5n − 8) ÷ (7n + 1) = $\frac{- 5 n - 8}{7 n + 1}$ .

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Exercice VIII.2

La question 3) relève aujourd'hui de la Terminale (spécialité mathématiques) ; les questions 1), 2) et 4) sont faisables en Première.

Soit U une suite définie par u₀ = 5 et pour tout n ≥ 0 par la relation suivante : u_n+1 = 0,99 × u_n + 1.

1) Déterminer un réel α tel que la suite V définie par v_n = u_n − α soit une suite géométrique.

2) En déduire l'expression de u_n en fonction de n.

3) En déduire que la suite converge vers un réel λ à préciser.

4) Étudier le sens de variation de la suite (u_n).

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Corrections

Correction de l'exercice VIII.1

Première méthode : montrons que v_n = u_n − (−5/7) tend vers 0 lorsque n tend vers +∞.

v_n = $\frac{- 5 n - 8}{7 n + 1} - \frac{- 5}{7}$ = $\frac{7 (- 5 n - 8) + 5 (7 n + 1)}{7 (7 n + 1)}$ = $\frac{- 51}{7 (7 n + 1)}$ = −51 ÷ [7(7n + 1)].

Il faut majorer |v_n| par une suite qui tend vers 0.

|v_n| = 51 ÷ [7(7n + 1)] = $\frac{51}{49 n + 7}$ alors ∀ n ∈ ℕ*, |v_n| ≤ 51/(49n) = $\frac{51}{49} \cdot \frac{1}{n}$ .

De plus lim_n→+∞ 1/n = 0 donc lim_n→+∞ v_n = 0 donc lim_n→+∞ u_n = −5/7.

Deuxième méthode : utiliser la fonction numérique suivante ƒ(x) = (−5x − 8) / (7x + 1) = $\frac{- 5 x - 8}{7 x + 1}$ .

ƒ est définie sur [0 ; +∞[ car pour tout x ≥ 0, 7x + 1 > 0, et pour tout n ∈ ℕ, u_n = ƒ(n).

Pour tout x > 0, ƒ(x) = x(−5 − 8/x) / [x(7 + 1/x)] = (−5 − 8/x) / (7 + 1/x).

Or lim_x→+∞ 8/x = 0 et lim_x→+∞ 1/x = 0, donc lim_x→+∞ ƒ(x) = −5/7.

D'après le théorème b), lim_n→+∞ u_n = −5/7.

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Correction de l'exercice VIII.2

1) V est une suite géométrique s'il existe une constante q telle que : ∀ n ∈ ℕ, v_n+1 = q × v_n ;

c'est-à-dire : ∀ n ∈ ℕ, u_n+1 − α = q × (u_n − α) ;

ou encore : ∀ n ∈ ℕ, 0,99u_n + 1 − α = qu_n − qα (i).

Pour que la dernière égalité (i) soit réalisée, il suffit que :

q = 0,99 et 1 − α = −qα c'est-à-dire q = 0,99 et α = 100.

Conclusion : α = 100 ; la suite V = (v_n)_n≥0 définie par v_n = u_n − 100 vérifie ∀ n ∈ ℕ, v_n+1 = q × v_n avec q = 0,99 qui est une constante. V est donc une suite géométrique de raison q = 0,99.

2) Calculer u_n en fonction de n en utilisant 1), donc le lien entre u_n et v_n, c'est-à-dire v_n = u_n − 100.

Or V est une suite géométrique de raison q = 0,99 et de premier terme v₀ = u₀ − 100 = −95.

∀ n ∈ ℕ, v_n = qⁿ × v₀ = −95 × 0,99ⁿ d'où ∀ n ∈ ℕ, u_n = 100 − 95 × 0,99ⁿ.

3) Comme lim_n→+∞ 0,99ⁿ = 0 car 0,99 est une constante inférieure à 1 et supérieure à −1,

nous obtenons lim_n→+∞ u_n = 100 et λ = 100.

4) La suite (0,99ⁿ)_n≥0 est strictement décroissante car 0 < 0,99 < 1, donc la suite u_n = 100 − 95 × 0,99ⁿ est strictement croissante car −95 est une constante strictement négative.

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