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VIII Convergence d'une suite vers un réel

1°) Définition

Soit la suite U=(u_n)_n≥a et δ une constante réelle. La suite U converge vers δ ou la suite a pour imite δ quand n tend vers +∞ et nous pouvons écrire lim_n→+∞ u_n = δ si :

u_n peut être rendu aussi proche que voulu de δ dés que l'on prend l'entier n suffisament grand; c'est-à-dire si la suite de terme général (u_n − δ)_n≥a converge vers 0.

Une suite réelle est ditconvergente si elle adment une limite réelle δ. On dit elle converge vers δ.

Si elle n'est pas convergente on dit que la suite est divergente.

2°) théorèmes

a) Si une suite admet une limite réelle (ou infinie), cette limite est unique.

b) Si ƒ est une fonction définie sur [a;+∞[ telle que lim_x→+∞ ƒ(x) = δ

exercice 1

U=(u_n)_n≥0 est la suite définie par ∀ n ∈ ℕ, u_n = ( −5n − 8) ÷ (7n + 1) =

première méthode : montrons que v_n = u_n − (−5/7) tends vers 0 lorsque tend vers +∞.

v_n = = = = −51 ÷ 7 (7n + 1).

il faut majoré |v_n| par une suite qui tend vers 0.

|v_n| = 51 ÷ 7(7n + 1) = alors ∀ n ∈ ℕ, |v_n| ≤ 51/49n ≤

de plus lim_n→+∞ 1/n = 0 donc lim_n→+∞ v_n = 0 donc lim_n→+∞ u_n = 0.

deuxième méthode : utiliser la fonction numériques suivante ƒ(x) = (−5x − 8) / (7x + 1) = .

exercice 2

Soit U une suite définie par u₀ = 5 et pour tout n > 0 par la relation suivante : u_n+1 = 0,99 × u_n + 1.

1) déterminer un réel α telque la suite V définie par v_n = u_n − α soit une suite géométrique.

2) en déduire l'expression de u_n en fonction de n

3) en déduire que la suite converge vers un réel λ à préciser

4) étudier le sens de variation de la suite u_n

1) v est une suite géométrique s'il existe une constante q telque : ∀ n ∈ ℕ, v_n+1 = q × v_n

c'est-à-dire : ∀ n ∈ ℕ, u_n+1 − α = q × (u_n − α)

ou encore : ∀ n ∈ ℕ, 0,99u _n − α = qu_n − qα (i)

pour que la dernière égalité (i) soit réalisée, il suffit que :

q = 0,99 et 1 − α = −qα c'est-à-dire q = 0,99 et α = 100

conclusion : α = 100la suite V = (v_n)_n≥0 définie par v_n = u_n− 100 vérifie ∀ n ∈ ℕ, v_n+1 = q × v avec q = 0,99 qui est une constante. V est don une suite géométrique de raison q = 0,99.

2) calculer u_n en fonction de n en utilisant 1) donc le lien entre u_n et v_n, c'est-à-dire v_n = u_n − 100

or V est une suite géométrique de raison q = 0,99 et de premier terme v₀ = u₀ − 100 = −95.

∀ n ∈ ℕ, v_n = qⁿ × v₀ = −95 × 0,99ⁿ d'où ∀ n ∈ ℕ, u_n = 100 − 95 × 0,99ⁿ

3) comme lim_n→+∞ 0,99ⁿ = 0 car 0,99 est une constante inférieure à 1 et superieure à −1

donc nous obtenons lim_n→+∞ u_n = 100 et λ = 100.

4) La suite (0,99ⁿ)_n≥0 est strictement décroissante car 0,99 ∈ ]−1;1[ donc la suite u_n = 100 − 95 × 0,99ⁿ est strictement croissante car −95 est une constante strictement négative.