Une histoire de nénuphars

Voici un nénuphar que l'on plante dans un grand lac. Il possède la propriété héréditaire de produire chaque jour un autre nénuphar. Il se trouve qu'au bout de 30 jours, la totalité du lac est recouverte par les descendants de ce nénuphar et que l'espèce entière meurt étouffée, privée d'espace et de nourriture.

Essayez de répondre aux questions qui suivent sans lire les réponses.

Question 1 : la présentation de cette énigme se réduit souvent à cette seule question.

« Au bout de combien de jours les nénuphars ne couvraient-ils que la moitié du lac ? »

Une fois la réponse à la première question trouvée et comprise, nous pouvons, par extension, nous poser les questions qui suivent.

Question 2 :

« Après combien de jours les nénuphars couvraient-ils à peine plus de 3 % de la surface du lac ? »

Question 3 :

« Combien de nénuphars couvraient la surface du lac au bout des 30 jours ? »

Les réponses

Question 1 :

Le premier jour nous comptons 1 nénuphar, le second jour le premier produit un second nénuphar, soit 2 nénuphars, le troisième jour le premier produit un nénuphar et le second produit un nénuphar, soit 4 nénuphars, et ainsi de suite…

• 1^er jour : on compte 1 nénuphar ;
• 2^e jour : on compte 2 nénuphars ;
• 3^e jour : on compte 4 nénuphars.

Le nombre de nénuphars double chaque jour. Si au 30^e jour ils couvraient la totalité du lac (100 %), le 29^e jour ils couvraient 50 % du lac, puisqu'ils étaient 2 fois moins nombreux !

Question 2 :

En raisonnant de la même manière, on trouve :

• 28^e jour les nénuphars couvrent 25 % du lac ;
• 27^e jour les nénuphars couvrent 12,5 % du lac ;
• 26^e jour les nénuphars couvrent 6,25 % du lac ;
• 25^e jour les nénuphars couvrent 3,125 % du lac.

Au 25^e jour, les nénuphars ne couvraient qu'un peu plus de 3 % du lac ; ils s'étaient donc développés pendant 25 jours en couvrant à peine plus de 3 % de leur espace vital. Quel nénuphar aurait pensé que leur espèce n'avait plus que 5 jours d'espérance de vie ? Et si parmi eux il s'en trouvait un plus clairvoyant, aurait-il pu convaincre ses congénères de la nécessité d'un rapide changement ?

Question 3 :

Il s'agit en fait d'une suite géométrique de raison égale à 2. En effet, on peut décrire l'évolution de la population des nénuphars comme suit :

u₁ = 1 ;

u₂ = 2 = 2¹ × u₁ ;

u₃ = 4 = 2 × u₂ = 2² × u₁ ;

...

soit u_n = 2 × u_n−1 = 2ⁿ⁻¹ × u₁, de là u_n = 2ⁿ⁻¹ ;

on peut donc calculer u₃₀ = 2²⁹ = 536 870 912.