Exercices sur les suites géométriques
Exercices : suites arithmétiques | suites géométriques
Exercice 1
Soit (un) une suite géométrique telle que u0 = 7 et dont la raison est égale à 3.
1) Calculer les 3 premiers termes qui suivent u0.
2) Calculer u9.
3) Calculer la somme S = u0 + u1 + u2 + ... + u9.
Exercice 2
Déterminer le nombre a tel que les 3 nombres suivants : 7, a et 8 soient les termes consécutifs d'une suite géométrique.
Exercice 3
Calculer la valeur exacte de la somme suivante :
S = 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − 32 + ... + 4 096.
Exercice 4
Calculer le 10e terme et le 35e terme de la suite géométrique de premier terme u1 = 0,9 et de raison q = 2.
Exercice 5
Calculer la raison positive d'une suite géométrique dont on connaît les termes suivants : u3 = 3 et u5 = 12.
Exercice 6
Un étudiant loue une chambre pour 3 ans. On lui propose deux types de bail.
1er contrat : un loyer de 200 euros pour le premier mois puis une augmentation de 5 euros par mois jusqu'à la fin du bail.
2e contrat : un loyer de 200 euros pour le premier mois puis une augmentation de 2 % par mois jusqu'à la fin du bail.
1/ Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
2/ Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois (c'est-à-dire du 36e mois).
3/ Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de 3 ans ? (Justifier à l'aide de calculs.)
Exercice 7
En 2010, la population mondiale était de 6,9 milliards d'habitants et elle augmentait d'environ 1 % par an. On note un la population mondiale l'année 2010 + n.
a. Expliquer pourquoi la suite (un) est géométrique. Préciser son premier terme u0 et sa raison.
b. Exprimer un en fonction de n.
c. En supposant que le taux d'accroissement se maintienne, estimer la population mondiale en 2025.
d. À l'aide de la calculatrice, estimer en quelle année les 9 milliards d'habitants seraient atteints.
Exercice 8
Calculer les sommes suivantes :
S1 = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + ... + 59 049 et S2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 999
(Dans les deux cas, on précisera s'il s'agit d'une somme de termes d'une suite arithmétique ou géométrique, ainsi que la raison correspondante.)
Corrections
Correction de l'exercice 1
1) u0 = 7 ; u1 = 3 × 7 = 21 ; u2 = 3 × 21 = 63 ; u3 = 3 × 63 = 189.
2) un = qn × u0 d'où u9 = 39 × 7 = 137 781.
3) u0 + u1 + ... + u9 = 7 × [ 30 + 31 + 32 + ... + 39 ] = 7 × [ 1 − 310 ] ÷ [ 1 − 3 ] = 7 × [ 310 − 1 ] ÷ 2 = 206 668.
Correction de l'exercice 2
Soit q la raison de cette suite géométrique, on a alors :
a = 7q et 8 = qa d'où :
8 = 7q2, donc q2 = 8 ÷ 7.
Il y a deux solutions : q = 2√2 ÷ √7 ou q = −2√2 ÷ √7.
D'où a = 7q = 14√2 ÷ √7 = 2√14 ou a = −2√14.
Vérification : a2 = 4 × 14 = 56 = 7 × 8. Les deux nombres a = 2√14 ≈ 7,48 et a = −2√14 ≈ −7,48 conviennent.
Correction de l'exercice 3
S = 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − 32 + 64 − 128 + 256 + ... − 2 048 + 4 096.
S1 = 1 + 4 + 16 + 64 + ... + 1 024 + 4 096 est la somme d'une suite géométrique de raison 4.
S2 = − 2 − 8 − 32 − 128 − ... − 2 048 = −2 ( 1 + 4 + 16 + 64 + ... + 1 024 ).
On a S = S1 + S2.
4 096 = 46, donc S1 compte 7 termes : S1 = ( 47 − 1 ) ÷ ( 4 − 1 ) = 16 383 ÷ 3 = 5 461.
1 024 = 45, donc la parenthèse compte 6 termes : 1 + 4 + ... + 1 024 = ( 46 − 1 ) ÷ 3 = 4 095 ÷ 3 = 1 365, d'où S2 = −2 × 1 365 = −2 730.
S = 5 461 − 2 730 = 2 731.
On peut aussi remarquer que S est la somme des 13 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison −2 : S = ( 1 − (−2)13 ) ÷ ( 1 − (−2) ) = ( 1 + 8 192 ) ÷ 3 = 2 731.
Correction de l'exercice 4
un = qn−1 × u1 alors u10 = 29 × 0,9 et u35 = 234 × 0,9 ;
u10 = 512 × 0,9 = 460,8 ;
u35 = 17 179 869 184 × 0,9 = 15 461 882 265,6.
Correction de l'exercice 5
un = qn × u0 alors u3 = q3 × u0 = 3 et u5 = q5 × u0 = 12 ;
d'où u5 / u3 = q2 = 12 / 3 = 4 d'où q = 2.
Correction de l'exercice 6
1/ 1er contrat : on ajoute 5 euros chaque mois. Les loyers forment une suite arithmétique de premier terme 200 et de raison 5.
Loyer du 2e mois : 200 + 5 = 205 euros ; loyer du 3e mois : 205 + 5 = 210 euros.
2e contrat : augmenter de 2 % revient à multiplier par 1,02. Les loyers forment une suite géométrique de premier terme 200 et de raison 1,02.
Loyer du 2e mois : 200 × 1,02 = 204 euros ; loyer du 3e mois : 204 × 1,02 = 208,08 euros.
2/ 1er contrat : le loyer du ne mois est 200 + 5 × (n − 1). Loyer du 36e mois : 200 + 5 × 35 = 375 euros.
2e contrat : le loyer du ne mois est 200 × 1,02n−1. Loyer du 36e mois : 200 × 1,0235 ≈ 399,98 euros.
3/ On calcule la somme des 36 loyers pour chaque contrat.
1er contrat : somme de 36 termes d'une suite arithmétique : 36 × ( 200 + 375 ) ÷ 2 = 10 350 euros.
2e contrat : somme de 36 termes d'une suite géométrique : 200 × ( 1,0236 − 1 ) ÷ ( 1,02 − 1 ) ≈ 10 398,87 euros.
Le 1er contrat est donc globalement le plus avantageux (environ 48,87 euros de moins sur 3 ans).
Correction de l'exercice 7
a.
un+1 = un + 1/100 × un = un × ( 1 + 1/100 ) ;
un+1 / un = 1,01 raison de la suite qui est géométrique. Son premier terme est u0 = 6,9 (en milliards).
b. un = 1,01n × u0 = 6,9 × 1,01n.
c. 2025 = 2010 + 15, il faut donc calculer u15 : u15 = 6,9 × 1,0115 ≈ 8,01. Selon ce modèle, la population mondiale serait d'environ 8 milliards d'habitants en 2025.
Remarque : cet énoncé date de 2010. Pour comparaison, la population mondiale était d'environ 8,2 milliards en 2025.
d. On cherche le plus petit entier n tel que 6,9 × 1,01n ≥ 9. À la calculatrice : u26 ≈ 8,94 et u27 ≈ 9,03.
Donc n = 27 : selon ce modèle, les 9 milliards d'habitants seraient atteints en 2010 + 27 = 2037.
Correction de l'exercice 8
S1 est la somme de termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 3. Comme 59 049 = 310, S1 compte 11 termes :
S1 = ( 311 − 1 ) ÷ ( 3 − 1 ) = 177 146 ÷ 2 = 88 573.
S2 est la somme de termes d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2. Comme 999 = 1 + 2 × 499, S2 compte 500 termes :
S2 = 500 × ( 1 + 999 ) ÷ 2 = 250 000.