Autre exemple de suite géométrique : les ascendants
Chacun possède 2 ascendants, et chacun de nos ascendants aussi et ainsi de suite.
Supposons que chaque ascendant a donné naissance à sa descendance à l'âge de 20 ans.
Calculons le nombre d'ascendants de chacun d'entre nous à l'an 1.
Pour simplifier, on fixe le nombre de générations à 100 entre l'an 1 et l'an 2001.
Il s'agit d'une suite géométrique de raison 2 :
en l'an 2001, u1 = 1 ;
en l'an 1981, u2 = 2 = 21 ;
en l'an 1961, u3 = 4 = 22 ;
...
soit un = 2n−1 pour la génération de l'an 2001 − 20 × (n − 1).
L'an 1 correspond à 2001 − 20 × (n − 1) = 1, soit n − 1 = 100, c'est-à-dire n = 101.
À l'an 1, le nombre d'ascendants est donc de 2101−1 = 2100 = 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 ;
soit plus de 1 267 milliards de milliards de milliards.
Je vous laisse le soin de calculer le nombre total de nos ascendants de nos jours à l'an 1.
Ce raisonnement, qui n'avait pour but que de manipuler une suite géométrique, est en réalité totalement faux, et un internaute, que je remercie, m'a fait les remarques suivantes :
Prendre l'hypothèse que chaque individu a deux ascendants distincts signifie implicitement que chaque individu est unique, ce qui se traduit aussi par un taux de fécondité de un ; ce qui signifie une population en décroissance depuis l'an 1. Cela explique le nombre astronomique d'ascendants nécessaires pour obtenir une 100e génération dans une population suivant une telle démographie.
Pour l'estimer, j'ai pensé à croiser votre calcul avec celui de la croissance de la population mondiale depuis l'an 1.
Ainsi,
on part d'une population en l'an 1 de 285 000 000 de personnes (u0). La population mondiale suit une suite géométrique de raison 1 + t avec t le taux de croissance.
Nous pouvons estimer ce taux de croissance en fixant le dernier terme u99 (la 100e génération) égal à 6 000 000 000
et u99 = 285 000 000 (1 + t)99.Nous trouvons 1 + t ≈ 1,031 => 3,1 % d'augmentation.
On calcule la série des termes de cette suite et on la compare donc aux termes de la suite un = 2n ; tant que ces derniers sont inférieurs à la population mondiale, on continue sur ce modèle d'estimation du nombre d'ascendants.
Lorsque le nombre d'ascendants calculé par cette méthode est supérieur à la population mondiale estimée par notre première suite géométrique, on passe à celle-ci pour estimer le nombre d'ascendants.
En effet, le nombre d'ascendants croît puis décroît ; on a ainsi :
Nombre total d'ascendants = 2(génération de bascule) + somme sur i de 0 à (100 − génération de bascule) des 285 000 000 × (1 + t)i, ce qui donne tout de même de l'ordre de 70 milliards d'ascendants, la bascule se faisant au bout d'environ 32 générations.
On pourrait raffiner le modèle en utilisant un accroissement de population mondiale plus réaliste (beaucoup plus explosif sur les dernières générations), ce qui réduirait le nombre de générations nécessaire au basculement d'une suite à l'autre.
Vince