Exemples de suites géométriques
Des centimes qui font beaucoup
Un jeune homme se préparait à l'examen du baccalauréat ; son père, pour l'encourager, lui demanda ce qu'il désirait en récompense. Mon examen devant avoir lieu le 20 juin, répondit-il, donne-moi seulement 1 centime le 1er juin, 2 centimes le lendemain, 4 centimes le surlendemain, en doublant chaque jour jusqu'au 20 inclusivement. J'emploierai cet argent à faire un voyage pendant les vacances.
Le père pensa qu'avec cette somme son fils n'irait pas loin ; mais au bout de quelques jours, il commença à s'apercevoir de son erreur.
Avec quelle somme le fils va-t-il pouvoir partir en vacances ?
Faisons le calcul. Les nombres de centimes à payer chaque jour sont les termes d'une suite géométrique de 20 termes dont le premier est 1 et la raison 2. La somme à donner le 20e jour est :
1 × 219 = 524 288 centimes.
La somme totale à payer serait :
1 × ( 220 − 1 ) / ( 2 − 1 ) = 220 − 1 = 2 × 219 − 1 = 2 × 524 288 − 1 = 1 048 575 centimes ;
soit 10 485,75 €.
Joli voyage en perspective !
Jeu d'échecs et suite géométrique
Le jeu d'échecs fut inventé par un mathématicien indien. Le roi à qui il le communiqua en fut si émerveillé qu'il dit à l'inventeur de choisir lui-même la récompense qu'il désirait. Or l'échiquier se compose de 64 cases.
Le mathématicien demanda 1 grain de blé pour la première case, 2 grains pour la deuxième, 4 grains pour la troisième et ainsi de suite en doublant toujours le nombre de grains d'une case à la suivante jusqu'à la dernière.
Tout le monde fut étonné de la modicité d'une pareille demande ; mais on fut bien plus surpris quand le mathématicien, ayant fait son calcul, prouva au roi que son royaume ne suffirait pas à produire en plusieurs années tout le blé qu'il demandait.
En effet, si on se sert de la formule pour avoir le nombre de grains, on obtient :
S = 264 − 1 = 18 446 744 073 709 551 615.
On peut savoir à peu près combien il y a de grains dans un kilo de blé et combien un hectare de terrain produit en moyenne de kilogrammes et donc combien d'hectares il faudrait pour produire le nombre demandé. On trouve que la surface entière de la Terre ensemencée ne serait pas suffisante.
On peut aussi estimer que cette quantité de grains couvrirait la surface de la France, considérée comme plane, sur une hauteur de l'ordre de 1,5 à 2 m.