Nombres complexes et suites

Les nombres complexes ne servent pas seulement à résoudre des équations. Ils permettent aussi de définir des suites dont les termes sont des nombres complexes, et d'étudier plus facilement certaines suites à termes réels.

Dans cette page, nous utilisons la forme algébrique, le module et l'argument et la forme exponentielle d'un nombre complexe.

suites à termes complexes - suites géométriques complexes - application à la suite de Fibonacci - algorithme - exercices

1) Suites à termes complexes

Une suite à termes complexes (z_n) associe à chaque entier naturel n un nombre complexe z_n. Pour tout n, on note z_n = x_n + i y_n avec x_n et y_n réels : x_n est la partie réelle de z_n et y_n sa partie imaginaire.

Une suite à termes complexes définit donc deux suites à termes réels : la suite (x_n) des parties réelles et la suite (y_n) des parties imaginaires.

Dans le plan complexe, on peut représenter la suite par les points M_n d'affixe z_n, c'est-à-dire de coordonnées (x_n ; y_n).

On dit que la suite (z_n) converge vers le nombre complexe ℓ lorsque la suite réelle (|z_n − ℓ|) tend vers 0, c'est-à-dire lorsque la distance entre le point M_n et le point d'affixe ℓ tend vers 0.

Soit ℓ = a + ib avec a et b réels. La suite (z_n) = (x_n + i y_n) converge vers ℓ si et seulement si la suite (x_n) converge vers a et la suite (y_n) converge vers b.

Pour étudier la convergence d'une suite à termes complexes, il suffit donc d'étudier deux suites à termes réels.

2) Suites géométriques complexes

Soit q un nombre complexe. Une suite (z_n) à termes complexes est géométrique de raison q si pour tout entier n, z_n+1 = q × z_n.

Comme pour les suites géométriques réelles, on montre par récurrence que pour tout entier n, z_n = z₀ × qⁿ.

Module et argument des termes

Le module d'un produit est le produit des modules, donc |z_n| = |z₀ × qⁿ| = |z₀| × |q|ⁿ.

Si z₀ ≠ 0 et q ≠ 0, un argument d'un produit est la somme des arguments, donc arg(z_n) = arg(z₀) + n arg(q) à 2π près.

Autrement dit, pour passer du point M_n au point M_n+1, on tourne autour de l'origine O d'un angle égal à arg(q) et on multiplie la distance à O par |q|.

La suite (|z_n|) est une suite géométrique réelle de raison |q| ≥ 0. Sa limite est donnée par la limite de qⁿ :

• si |q| < 1, |z_n| tend vers 0 : les points M_n tournent autour de O en s'en approchant, ils dessinent une spirale, et la suite (z_n) converge vers 0 ;
• si |q| = 1, |z_n| = |z₀| pour tout n : les points M_n restent sur le cercle de centre O et de rayon |z₀| ;
• si |q| > 1, |z_n| tend vers +∞ : les points M_n tournent en s'éloignant de O.

Exemple : une spirale qui s'enroule vers O

Cas où |q| = 1

Si |q| = 1, on peut écrire q = e^iθ avec θ réel, et z_n = z₀ e^inθ. Tous les points M_n sont sur le cercle de centre O et de rayon |z₀|.

Si de plus θ = 2π/m avec m entier ≥ 1, alors q^m = e^2iπ = 1 : q est une racine m-ième de l'unité. On a alors z_n+m = z_n × q^m = z_n pour tout n : la suite est périodique de période m et les points M₀, M₁, …, M_m−1 sont les sommets d'un polygone régulier à m côtés.

Cas où |q| > 1

Somme des termes d'une suite géométrique complexe

La démonstration de la somme des termes d'une suite géométrique n'utilise que les règles de calcul de l'addition et de la multiplication. Elle reste donc valable dans ℂ.

Soit q un nombre complexe et S = 1 + q + q² + … + qⁿ.

q × S = q + q² + … + qⁿ + qⁿ⁺¹ ;

S − q × S = 1 − qⁿ⁺¹, car tous les autres termes se simplifient ;

S(1 − q) = 1 − qⁿ⁺¹.

Pour tout nombre complexe q ≠ 1 et pour tout entier naturel n, 1 + q + q² + … + qⁿ = $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

3) Application aux suites de Fibonacci

La formule de Binet

La suite de Fibonacci est définie par F₀ = 0, F₁ = 1 et, pour tout entier n, F_n+2 = F_n+1 + F_n.

Cherchons les suites géométriques (rⁿ), avec r ≠ 0, qui vérifient cette relation :

rⁿ⁺² = rⁿ⁺¹ + rⁿ ;

rⁿ(r² − r − 1) = 0 ;

r² = r + 1.

L'équation x² = x + 1 est appelée l'équation caractéristique de la relation F_n+2 = F_n+1 + F_n.

Son discriminant est Δ = (−1)² − 4 × 1 × (−1) = 5 > 0. Elle a deux racines réelles :

Φ = (1 + √5)/2 (le nombre d'or) et φ' = (1 − √5)/2.

Nous admettons, comme sur la page de la suite de Fibonacci, que toute suite de la forme λΦⁿ + µφ'ⁿ vérifie la même relation de récurrence. Cette page démontre que les conditions F₀ = 0 et F₁ = 1 donnent µ = 1/√5 pour Φⁿ et λ = −1/√5 pour φ'ⁿ.

Pour tout entier naturel n, F_n = $\frac{{\Phi }^n-{\phi \text{'}}^n}{\sqrt{5}}$.

Vérifions pour n = 2 : Φ² − φ'² = (Φ − φ')(Φ + φ') = √5 × 1 = √5, donc F₂ = √5/√5 = 1.

Quand l'équation caractéristique a des racines complexes

La même méthode s'applique à toute relation u_n+2 = a u_n+1 + b u_n : on cherche les racines de l'équation caractéristique x² = ax + b. Lorsque le discriminant est négatif, les racines sont deux nombres complexes conjugués (voir les équations du second degré dans ℂ), et les nombres complexes deviennent indispensables, même si tous les termes de la suite sont réels.

Expliquons ce résultat avec les nombres complexes. L'équation caractéristique est x² = x − 1, soit x² − x + 1 = 0.

Son discriminant est Δ = (−1)² − 4 × 1 × 1 = −3 < 0. Elle a deux racines complexes conjuguées :

r = (1 + i√3)/2 et r̄ = (1 − i√3)/2.

|r| = √(1/4 + 3/4) = 1, cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2, donc r = e^iπ/3 et r̄ = e^−iπ/3.

Ces deux racines vérifient r⁶ = e^6iπ/3 = e^2iπ = 1 et de même r̄⁶ = 1 : ce sont des racines sixièmes de l'unité.

Nous admettons que u_n = λrⁿ + µr̄ⁿ pour deux nombres complexes λ et µ. Alors u_n+6 = λrⁿr⁶ + µr̄ⁿr̄⁶ = λrⁿ + µr̄ⁿ = u_n : c'est pour cela que la suite est périodique de période 6.

Déterminons λ et µ avec u₀ = 1 et u₁ = 1 :

u₀ = λ + µ = 1, donc µ = 1 − λ ;

u₁ = λr + (1 − λ)r̄ = 1, donc λ(r − r̄) = 1 − r̄.

Or r − r̄ = i√3 et 1 − r̄ = 1/2 + i√3/2 = r, donc λ = r/(i√3) = (1/2 + i√3/2) × (−i)/√3 = (√3/2 − i/2)/√3 = 1/2 − i√3/6.

Et µ = 1 − λ = 1/2 + i√3/6 : µ est le conjugué de λ.

Le terme µr̄ⁿ est donc le conjugué de λrⁿ, et u_n = 2 × Re(λrⁿ). En développant λrⁿ = (1/2 − i√3/6)(cos(nπ/3) + i sin(nπ/3)), on obtient :

u_n = cos(nπ/3) + (√3/3) sin(nπ/3).

Vérifions pour n = 4 : u₄ = cos(4π/3) + (√3/3) sin(4π/3) = −1/2 + (√3/3) × (−√3/2) = −1/2 − 1/2 = −1.

On peut aussi démontrer la périodicité sans nombres complexes : pour tout n, u_n+3 = u_n+2 − u_n+1 = (u_n+1 − u_n) − u_n+1 = −u_n, donc u_n+6 = −u_n+3 = u_n.

4) Algorithme

En Python, le nombre i s'écrit 1j. Le module cmath contient la fonction polar qui renvoie le module et un argument (dans ]−π ; π]) d'un nombre complexe.

Le programme suivant calcule les termes z₀ à z₈ de la suite géométrique de premier terme z₀ = 4 et de raison q = (1 + i)/2, et affiche pour chacun son module et son argument arrondis à 10⁻⁴.

import cmath

z0 = 4
q = (1 + 1j) / 2
z = z0
for n in range(9):
    r, theta = cmath.polar(z)
    print(n, z, round(r, 4), round(theta, 4))
    z = z * q

Le programme affiche :

0 4 4.0 0.0
1 (2+2j) 2.8284 0.7854
2 2j 2.0 1.5708
3 (-1+1j) 1.4142 2.3562
4 (-1+0j) 1.0 3.1416
5 (-0.5-0.5j) 0.7071 -2.3562
6 -0.5j 0.5 -1.5708
7 (0.25-0.25j) 0.3536 -0.7854
8 (0.25+0j) 0.25 0.0

On retrouve les termes calculés plus haut. Les modules 4 ; 2,8284 ; 2 ; 1,4142 ; … sont multipliés par √2/2 ≈ 0,7071 à chaque étape.

Les arguments augmentent de π/4 ≈ 0,7854 à chaque étape : 0, π/4, π/2, 3π/4, π. Ensuite cmath.polar donne l'argument compris entre −π et π : pour z₅, on lit −2,3562 = −3π/4, qui est égal à 5π/4 à 2π près.

Exercices

Exercice 1

Soit (z_n) la suite géométrique de premier terme z₀ = 2 et de raison q = √3/2 + i/2.

1) Déterminer le module et un argument de q.

2) Écrire z_n sous forme exponentielle. Que peut-on dire des points M_n d'affixe z_n ?

3) Montrer que pour tout entier n, z_n+12 = z_n.

4) En déduire z₁₀₀ sous forme algébrique.

5) Calculer la somme z₀ + z₁ + … + z₁₁.

Voir la correction

Exercice 2

Soit (u_n) la suite définie par u₀ = 1, u₁ = 1 et, pour tout entier n, u_n+2 = 2u_n+1 − 2u_n.

1) Calculer les termes u₂ à u₈.

2) Résoudre dans ℂ l'équation caractéristique x² = 2x − 2, et écrire ses solutions sous forme exponentielle.

3) On admet qu'il existe deux nombres complexes λ et µ tels que pour tout n, u_n = λ(1 + i)ⁿ + µ(1 − i)ⁿ. Déterminer λ et µ.

4) En déduire que pour tout n, u_n = (√2)ⁿ cos(nπ/4), puis calculer u_8k pour tout entier k.

Voir la correction

Corrections

Correction de l'exercice 1

1) |q| = √((√3/2)² + (1/2)²) = √(3/4 + 1/4) = √1 = 1.

Un argument θ de q vérifie cos θ = √3/2 et sin θ = 1/2, donc θ = π/6.

2) q = e^iπ/6, donc z_n = z₀ × qⁿ = 2e^inπ/6.

Pour tout n, |z_n| = 2 : les points M_n sont sur le cercle de centre O et de rayon 2. On passe de M_n à M_n+1 en tournant de π/6 autour de O.

3) z_n+12 = 2e^i(n+12)π/6 = 2e^inπ/6 × e^12iπ/6 = z_n × e^2iπ = z_n × 1 = z_n.

La suite est périodique de période 12 : les points M₀ à M₁₁ sont les sommets d'un dodécagone régulier.

4) 100 = 12 × 8 + 4, donc z₁₀₀ = z₄ = 2e^4iπ/6 = 2e^2iπ/3.

z₁₀₀ = 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3)) = 2(−1/2 + i√3/2) = −1 + i√3.

5) q ≠ 1, donc z₀ + z₁ + … + z₁₁ = 2(1 + q + … + q¹¹) = 2 × (1 − q¹²)/(1 − q).

Or q¹² = e^2iπ = 1, donc la somme est égale à 2 × 0/(1 − q) = 0.

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Correction de l'exercice 2

1) u₂ = 2 × 1 − 2 × 1 = 0 ;

u₃ = 2 × 0 − 2 × 1 = −2 ;

u₄ = 2 × (−2) − 2 × 0 = −4 ;

u₅ = 2 × (−4) − 2 × (−2) = −8 + 4 = −4 ;

u₆ = 2 × (−4) − 2 × (−4) = 0 ;

u₇ = 2 × 0 − 2 × (−4) = 8 ;

u₈ = 2 × 8 − 2 × 0 = 16.

2) x² = 2x − 2 équivaut à x² − 2x + 2 = 0. Le discriminant est Δ = (−2)² − 4 × 1 × 2 = 4 − 8 = −4 < 0.

Les solutions sont (2 + 2i)/2 = 1 + i et (2 − 2i)/2 = 1 − i.

|1 + i| = √2, et un argument θ vérifie cos θ = 1/√2 = √2/2 et sin θ = √2/2, donc θ = π/4.

Donc 1 + i = √2 e^iπ/4 et, en prenant le conjugué, 1 − i = √2 e^−iπ/4.

3) u₀ = λ + µ = 1 et u₁ = λ(1 + i) + µ(1 − i) = (λ + µ) + i(λ − µ) = 1.

Comme λ + µ = 1, la deuxième égalité donne 1 + i(λ − µ) = 1, donc λ − µ = 0.

D'où λ = µ = 1/2.

4) u_n = (1/2)(√2)ⁿ(e^inπ/4 + e^−inπ/4).

Or e^inπ/4 + e^−inπ/4 = cos(nπ/4) + i sin(nπ/4) + cos(nπ/4) − i sin(nπ/4) = 2cos(nπ/4).

Donc u_n = (√2)ⁿ cos(nπ/4).

On vérifie avec la question 1) : u₄ = (√2)⁴ cos(π) = 4 × (−1) = −4.

Pour n = 8k : (√2)^8k = 2^4k = 16^k et cos(8kπ/4) = cos(2kπ) = 1, donc u_8k = 16^k.

On retrouve u₀ = 1 et u₈ = 16.

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