Équations du second degré dans ℂ
Dans ℝ, l'équation x² + 1 = 0 n'a pas de solution. C'est justement pour la résoudre que l'on a introduit le nombre i tel que i² = −1 (voir la page construction des nombres complexes). Nous allons voir que, dans ℂ, toute équation du second degré à coefficients réels possède des solutions.
1) L'équation et son discriminant
Soit a, b, c trois nombres réels avec a ≠ 0. On cherche les nombres complexes z tels que :
az² + bz + c = 0.
Le discriminant de l'équation az² + bz + c = 0 est le nombre réel Δ = b² − 4ac.
La forme canonique
Comme a ≠ 0, on peut mettre a en facteur :
az² + bz + c = a(z² + (b/a)z + c/a).
On reconnaît dans z² + (b/a)z le début du carré (z + b/(2a))² = z² + (b/a)z + b²/(4a²). Donc :
z² + (b/a)z = (z + b/(2a))² − b²/(4a²).
On remplace :
az² + bz + c = a[(z + b/(2a))² − b²/(4a²) + c/a] ;
az² + bz + c = a[(z + b/(2a))² − (b² − 4ac)/(4a²)] ;
az² + bz + c = a[(z + b/(2a))² − Δ/(4a²)].
Cette écriture s'appelle la forme canonique. Elle est valable pour z réel comme pour z complexe, car les règles de calcul dans ℂ sont les mêmes que dans ℝ.
2) Rappel : les cas Δ > 0 et Δ = 0
Ces deux cas sont les mêmes que dans ℝ.
Si Δ > 0, l'équation a deux solutions réelles et .
Si Δ = 0, l'équation a une seule solution (dite double) .
z² − 5z + 6 = 0 : Δ = 25 − 24 = 1 > 0, les solutions sont (5 − 1)/2 = 2 et (5 + 1)/2 = 3.
z² − 6z + 9 = 0 : Δ = 36 − 36 = 0, la solution double est 6/2 = 3.
3) Le cas Δ < 0 : deux solutions complexes conjuguées
Si Δ < 0, alors −Δ > 0 et le réel √(−Δ) existe. On a :
(i√(−Δ))² = i² × (√(−Δ))² = −1 × (−Δ) = Δ.
Le nombre Δ, qui est négatif, est donc le carré du nombre complexe i√(−Δ). Reprenons la forme canonique :
az² + bz + c = a[(z + b/(2a))² − Δ/(4a²)] ;
az² + bz + c = a[(z + b/(2a))² − (i√(−Δ)/(2a))²].
On reconnaît une différence de deux carrés A² − B² = (A − B)(A + B) :
az² + bz + c = a(z + b/(2a) − i√(−Δ)/(2a))(z + b/(2a) + i√(−Δ)/(2a)) ;
az² + bz + c = a(z − (−b + i√(−Δ))/(2a))(z − (−b − i√(−Δ))/(2a)).
Un produit de nombres complexes est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Comme a ≠ 0, l'équation az² + bz + c = 0 équivaut à :
z = (−b + i√(−Δ))/(2a) ou z = (−b − i√(−Δ))/(2a).
Si Δ < 0, l'équation az² + bz + c = 0 (a, b, c réels, a ≠ 0) a deux solutions complexes conjuguées : et .
Ces deux solutions sont bien conjuguées : elles ont la même partie réelle −b/(2a) et des parties imaginaires opposées −√(−Δ)/(2a) et √(−Δ)/(2a). Le conjugué est défini à la page forme algébrique.
Résolvons dans ℂ l'équation z² + z + 1 = 0.
a = 1, b = 1, c = 1.
Δ = 1² − 4 × 1 × 1 = 1 − 4 = −3 < 0.
−Δ = 3 et √(−Δ) = √3.
z1 = (−1 − i√3)/2 = −1/2 − i√3/2 et z2 = (−1 + i√3)/2 = −1/2 + i√3/2.
Ces deux nombres sont des racines cubiques de l'unité : on les retrouve à la page racines n-ièmes de l'unité.
Résolvons dans ℂ l'équation z² − 2z + 5 = 0.
a = 1, b = −2, c = 5.
Δ = (−2)² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16 < 0.
√(−Δ) = √16 = 4.
z1 = (2 − 4i)/2 = 1 − 2i et z2 = (2 + 4i)/2 = 1 + 2i.
Vérifions pour z2 : (1 + 2i)² − 2(1 + 2i) + 5 = (1 + 4i + 4i²) − 2 − 4i + 5 = 1 + 4i − 4 − 2 − 4i + 5 = 0.
Dans le plan complexe, les points images de deux nombres conjugués sont symétriques par rapport à l'axe des réels.
Un cas particulier : z² = −4
L'équation z² = −4 s'écrit z² + 4 = 0, avec a = 1, b = 0, c = 4.
Δ = 0² − 4 × 1 × 4 = −16 < 0 et √(−Δ) = 4.
z1 = (0 − 4i)/2 = −2i et z2 = (0 + 4i)/2 = 2i.
On peut aussi factoriser directement : z² + 4 = z² − (2i)² = (z − 2i)(z + 2i), car (2i)² = 4i² = −4.
Plus généralement, pour tout réel k > 0, les solutions de z² = −k sont i√k et −i√k.
4) Somme et produit des racines
Dans les trois cas (avec z1 = z2 = −b/(2a) si Δ = 0), la forme canonique permet de factoriser comme nous l'avons fait pour Δ < 0 :
az² + bz + c = a(z − z1)(z − z2).
Développons le membre de droite :
a(z − z1)(z − z2) = az² − a(z1 + z2)z + az1z2.
En identifiant les coefficients avec az² + bz + c, on obtient −a(z1 + z2) = b et az1z2 = c.
Si z1 et z2 sont les solutions de az² + bz + c = 0, alors et .
Pour z² − 2z + 5 = 0, les solutions sont 1 + 2i et 1 − 2i.
Somme : (1 + 2i) + (1 − 2i) = 2 = −(−2)/1.
Produit : (1 + 2i)(1 − 2i) = 1 − 4i² = 1 + 4 = 5 = 5/1.
Lorsque Δ < 0, les deux solutions sont conjuguées : z2 = z̄1. Leur produit z1z̄1 est égal à |z1|² (voir la page module et argument). Donc |z1|² = c/a. Dans l'exemple, |1 + 2i|² = 1² + 2² = 5.
Exercices
Exercice 1
Résoudre dans ℂ les équations suivantes :
a) z² + 4z + 13 = 0 ;
b) 2z² − 2z + 1 = 0 ;
c) z² + 9 = 0.
Exercice 2
Déterminer une équation du second degré à coefficients réels, de la forme z² + bz + c = 0, dont une solution est 3 + i.
Exercice 3
Résoudre dans ℂ l'équation z⁴ + 5z² + 4 = 0. On pourra poser Z = z².
Corrections
Correction de l'exercice 1
a) z² + 4z + 13 = 0 : a = 1, b = 4, c = 13.
Δ = 4² − 4 × 1 × 13 = 16 − 52 = −36 < 0 et √(−Δ) = √36 = 6.
z1 = (−4 − 6i)/2 = −2 − 3i et z2 = (−4 + 6i)/2 = −2 + 3i.
Vérification avec la somme et le produit : z1 + z2 = −4 = −b/a et z1z2 = (−2)² + 3² = 13 = c/a.
b) 2z² − 2z + 1 = 0 : a = 2, b = −2, c = 1.
Δ = (−2)² − 4 × 2 × 1 = 4 − 8 = −4 < 0 et √(−Δ) = 2.
z1 = (2 − 2i)/4 = 1/2 − i/2 et z2 = (2 + 2i)/4 = 1/2 + i/2.
c) z² + 9 = 0 équivaut à z² = −9, c'est-à-dire z² − (3i)² = 0, soit (z − 3i)(z + 3i) = 0.
Les solutions sont 3i et −3i.
Correction de l'exercice 2
Si une équation à coefficients réels a une solution non réelle 3 + i, son discriminant est négatif (sinon les solutions seraient réelles) et l'autre solution est le conjugué 3 − i.
La somme des solutions est (3 + i) + (3 − i) = 6 ;
le produit des solutions est (3 + i)(3 − i) = 9 − i² = 9 + 1 = 10.
Avec a = 1, on a z1 + z2 = −b et z1z2 = c, donc b = −6 et c = 10.
L'équation z² − 6z + 10 = 0 convient.
Vérification : (3 + i)² − 6(3 + i) + 10 = 9 + 6i + i² − 18 − 6i + 10 = 9 − 1 − 18 + 10 = 0.
Correction de l'exercice 3
On pose Z = z². Alors z⁴ = Z² et l'équation devient Z² + 5Z + 4 = 0.
Δ = 5² − 4 × 1 × 4 = 25 − 16 = 9 > 0, √Δ = 3.
Z1 = (−5 − 3)/2 = −4 et Z2 = (−5 + 3)/2 = −1.
On revient à z :
z² = −4 donne z = 2i ou z = −2i ;
z² = −1 donne z = i ou z = −i.
L'équation z⁴ + 5z² + 4 = 0 a donc quatre solutions dans ℂ : −2i, −i, i et 2i.
Vérification pour 2i : (2i)⁴ = 16i⁴ = 16, 5(2i)² = 5 × (−4) = −20, et 16 − 20 + 4 = 0.
D'autres exercices sont proposés à la page exercices sur les nombres complexes.