Module et argument d'un nombre complexe

Dans toute cette page, le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O ; u⃗, v⃗). On a vu dans la page construction de ℂ qu'à tout nombre complexe z = a + ib on associe le point M(a ; b).

La forme algébrique donne les coordonnées de M. Le module et l'argument donnent une autre façon de repérer M : sa distance à l'origine O et un angle.

1) Module d'un nombre complexe

Soit z = a + ib un nombre complexe, avec a et b réels. On appelle module de z le réel positif noté |z| défini par $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Si M est le point d'affixe z, le triangle formé par O, M et le point H(a ; 0) est rectangle en H. Les côtés de l'angle droit mesurent |a| et |b|. D'après le théorème de Pythagore :

OM² = a² + b², donc OM = √(a² + b²) = |z|.

Le module de z est la distance OM entre l'origine O et le point M d'affixe z.

Le point M d'affixe z = 4 + 3i : OM = √(4² + 3²) = 5.

|4 + 3i| = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

|1 + i| = √(1² + 1²) = √2.

|−2i| = √(0² + (−2)²) = √4 = 2.

|−5| = √((−5)² + 0²) = √25 = 5.

Lorsque z = a est réel, |z| = √(a²) est la valeur absolue de a. La notation du module prolonge donc celle de la valeur absolue.

Pour tout nombre complexe z :

${| z |}^{2} = z \times \overline{z}$ ;
|z| = 0 si, et seulement si, z = 0.

En effet, avec z = a + ib, on a vu dans la page forme algébrique que z × $\overline{z}$ = a² + b² = |z|². Et a² + b² = 0 seulement si a = 0 et b = 0.

Distance entre deux points

Soient A et B deux points d'affixes z_A et z_B. Le vecteur AB⃗ a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A), donc il a pour affixe z_B − z_A.

La distance AB est égale au module de z_B − z_A : AB = |z_B − z_A|.

Soient A d'affixe 1 − i et B d'affixe 3 + i.

z_B − z_A = (3 + i) − (1 − i) = 2 + 2i ;

AB = |2 + 2i| = √(4 + 4) = √8 = 2√2.

2) Propriétés du module

Pour tous nombres complexes z et z', et pour tout entier naturel n ≥ 1 :

$| \overline{z} | = | z |$ et |−z| = |z| ;
|z × z'| = |z| × |z'| ;
|zⁿ| = |z|ⁿ ;
si z ≠ 0, $| \frac{1}{z} | = \frac{1}{| z |}$ ;
si z' ≠ 0, $| \frac{z}{z'} | = \frac{| z |}{| z' |}$ .

Démonstration

Posons z = a + ib. Alors $\overline{z}$ = a − ib et −z = −a − ib, donc :

| $\overline{z}$ | = √(a² + (−b)²) = √(a² + b²) = |z| et |−z| = √((−a)² + (−b)²) = |z|.

Pour le produit, on utilise |z|² = z × $\overline{z}$ et le conjugué d'un produit :

|zz'|² = zz' × $\overline{z z'}$ = z × z' × $\overline{z}$ × $\overline{z'}$ = (z $\overline{z}$ ) × (z' $\overline{z'}$ ) = |z|² × |z'|².

Les nombres |zz'| et |z| × |z'| sont des réels positifs qui ont le même carré, donc ils sont égaux.

La propriété des puissances s'en déduit par récurrence.

Pour l'inverse, si z ≠ 0, on a z × (1/z) = 1, donc |z| × |1/z| = |1| = 1, d'où |1/z| = 1/|z|.

Enfin, z/z' = z × (1/z'), donc |z/z'| = |z| × 1/|z'| = |z|/|z'|.

Avec les propriétés, on calcule un module sans écrire la forme algébrique.

|(1 + i)⁶| = |1 + i|⁶ = (√2)⁶ = 2³ = 8.

|(3 + 4i)/(1 − i)| = |3 + 4i| / |1 − i| = 5/√2 = 5√2/2.

Attention : le module d'une somme n'est pas, en général, la somme des modules. Par exemple |1 + i| = √2 alors que |1| + |i| = 1 + 1 = 2.

Inégalité triangulaire (admise) : pour tous nombres complexes z et z', |z + z'| ≤ |z| + |z'|.

Si M a pour affixe z et si le vecteur MN⃗ a pour affixe z', le point N a pour affixe z + z'. L'inégalité dit simplement que ON ≤ OM + MN : le chemin direct de O à N est plus court que le chemin qui passe par M.

3) Argument d'un nombre complexe non nul

Soit z un nombre complexe non nul et M le point d'affixe z. On appelle argument de z toute mesure θ, en radians, de l'angle orienté (u⃗ ; OM⃗). On note arg(z) = θ [2π].

Un angle orienté a une infinité de mesures, qui diffèrent d'un multiple de 2π. Si θ est un argument de z, alors θ + 2π, θ − 2π, θ + 4π, … sont aussi des arguments de z. On dit que l'argument est défini à 2π près, ce que l'on note [2π].

La mesure qui se trouve dans l'intervalle ]−π ; π] s'appelle la mesure principale de l'argument.

Le nombre 0 n'a pas d'argument : si z = 0, le point M est en O et le vecteur OM⃗ est nul, il n'y a pas d'angle.

On lit directement sur le plan complexe :

si z est un réel strictement positif, M est sur la demi-droite [Ox) et arg(z) = 0 [2π] ;
si z est un réel strictement négatif, arg(z) = π [2π] ;
si z = ib avec b > 0, M est sur l'axe imaginaire, au-dessus de O, et arg(z) = π/2 [2π] ;
si z = ib avec b < 0, arg(z) = −π/2 [2π].

Par exemple arg(3) = 0, arg(−2) = π, arg(5i) = π/2 et arg(−i) = −π/2, à 2π près.

4) Calcul d'un argument

Soit z = a + ib un nombre complexe non nul, de module r = |z|, et M son point image. Le point M est sur le cercle de centre O et de rayon r.

Si θ est une mesure de l'angle (u⃗ ; OM⃗), le point N de la demi-droite [OM) tel que ON = 1 est sur le cercle trigonométrique. Ses coordonnées sont (cos θ ; sin θ). Comme OM⃗ = r × ON⃗, les coordonnées de M sont (r cos θ ; r sin θ).

On a donc a = r cos θ et b = r sin θ.

Soit z = a + ib un nombre complexe non nul, avec a et b réels, et r = |z|. Le réel θ est un argument de z si, et seulement si :

$\cos θ = \frac{a}{| z |}$ et $\sin θ = \frac{b}{| z |}$ .

Pour trouver un argument de z = a + ib : on calcule |z|, puis cos θ = a/|z| et sin θ = b/|z|, et on cherche un angle θ qui a ce cosinus et ce sinus.

Il faut connaître les valeurs remarquables du cosinus et du sinus :

θ	0	π/6	π/4	π/3	π/2
cos θ	1	√3/2	√2/2	1/2	0
sin θ	0	1/2	√2/2	√3/2	1

Soit z = 1 + i. On a a = 1 et b = 1.

|z| = √(1² + 1²) = √2.

cos θ = 1/√2 = √2/2 et sin θ = 1/√2 = √2/2.

L'angle π/4 a pour cosinus √2/2 et pour sinus √2/2. Donc |1 + i| = √2 et arg(1 + i) = π/4 [2π].

Soit z = −1 + i√3. On a a = −1 et b = √3.

|z| = √((−1)² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2.

cos θ = −1/2 et sin θ = √3/2.

Le sinus est positif et le cosinus négatif : θ est entre π/2 et π. L'angle π/3 a pour cosinus 1/2 et pour sinus √3/2. L'angle π − π/3 = 2π/3 a le même sinus et un cosinus opposé :

cos(2π/3) = −1/2 et sin(2π/3) = √3/2.

Donc |−1 + i√3| = 2 et arg(−1 + i√3) = 2π/3 [2π].

Le point M d'affixe −1 + i√3 : OM = |z| = 2 et (u⃗ ; OM⃗) = 2π/3.

Argument du conjugué et de l'opposé

Le point d'affixe $\overline{z}$ est le symétrique de M par rapport à l'axe réel : l'angle change de signe. Le point d'affixe −z est le symétrique de M par rapport à O : on ajoute un demi-tour.

Pour tout nombre complexe z non nul :

arg( $\overline{z}$ ) = −arg(z) [2π] ;
arg(−z) = arg(z) + π [2π].

Par exemple, arg(1 − i) = −π/4 et arg(−1 − i) = π/4 + π = 5π/4, c'est-à-dire −3π/4 à 2π près.

Le module et l'argument permettent d'écrire z sous forme trigonométrique : c'est l'objet de la page formes trigonométrique et exponentielle.

Exercices

Exercice 1

Calculer le module des nombres complexes suivants :

z₁ = 3 − 4i ; z₂ = −2i ; z₃ = (1 + i)(3 − 4i) ; z₄ = $\frac{1 + 2 i}{2 - i}$ ; z₅ = (1 − i)¹⁰.

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Exercice 2

Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :

z₁ = −3 ; z₂ = 2i ; z₃ = √3 − i ; z₄ = −2 − 2i.

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Exercice 3

Dans le plan complexe, on considère les points A, B et C d'affixes respectives z_A = 1 + 2i, z_B = 4 + 6i et z_C = −3 + 5i.

1. Calculer les distances AB, AC et BC. Quelle est la nature du triangle ABC ?

2. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que |z − 1 − 2i| = 5. Les points B et C appartiennent-ils à cet ensemble ?

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Corrections

Correction de l'exercice 1

|z₁| = √(3² + (−4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

|z₂| = √(0² + (−2)²) = √4 = 2.

Pour z₃, on utilise le module d'un produit :

|z₃| = |1 + i| × |3 − 4i| = √2 × 5 = 5√2.

Pour z₄, on utilise le module d'un quotient :

|1 + 2i| = √(1 + 4) = √5 et |2 − i| = √(4 + 1) = √5 ;

donc |z₄| = √5/√5 = 1.

Pour z₅, on utilise le module d'une puissance :

|1 − i| = √(1 + 1) = √2 ;

donc |z₅| = (√2)¹⁰ = 2⁵ = 32.

On remarque qu'il n'a pas été nécessaire de calculer la forme algébrique de z₃, z₄ et z₅.

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Correction de l'exercice 2

z₁ = −3 est un réel strictement négatif : |z₁| = 3 et arg(z₁) = π [2π].

z₂ = 2i est un imaginaire pur de partie imaginaire positive : |z₂| = 2 et arg(z₂) = π/2 [2π].

z₃ = √3 − i : on a a = √3 et b = −1.

|z₃| = √((√3)² + (−1)²) = √(3 + 1) = 2 ;

cos θ = √3/2 et sin θ = −1/2.

L'angle π/6 a pour cosinus √3/2 et pour sinus 1/2. L'angle −π/6 a le même cosinus et un sinus opposé, donc arg(z₃) = −π/6 [2π].

z₄ = −2 − 2i : on a a = −2 et b = −2.

|z₄| = √((−2)² + (−2)²) = √8 = 2√2 ;

cos θ = −2/(2√2) = −1/√2 = −√2/2 et sin θ = −√2/2.

Le cosinus et le sinus sont tous les deux négatifs : θ est entre −π et −π/2. L'angle π/4 a pour cosinus et pour sinus √2/2 ; l'angle π/4 + π = 5π/4 a un cosinus et un sinus opposés. Donc arg(z₄) = 5π/4 [2π], c'est-à-dire arg(z₄) = −3π/4 [2π] (mesure principale).

On pouvait aussi remarquer que z₄ = −2(1 + i), donc z₄ est l'opposé de 2(1 + i), qui a pour argument π/4.

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Correction de l'exercice 3

1. On utilise AB = |z_B − z_A|.

z_B − z_A = (4 + 6i) − (1 + 2i) = 3 + 4i, donc AB = √(9 + 16) = √25 = 5.

z_C − z_A = (−3 + 5i) − (1 + 2i) = −4 + 3i, donc AC = √(16 + 9) = √25 = 5.

z_C − z_B = (−3 + 5i) − (4 + 6i) = −7 − i, donc BC = √(49 + 1) = √50 = 5√2.

On a AB = AC, donc le triangle ABC est isocèle en A.

De plus, AB² + AC² = 25 + 25 = 50 = BC². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

Le triangle ABC est donc rectangle et isocèle en A.

2. On a z − 1 − 2i = z − (1 + 2i) = z − z_A, donc |z − 1 − 2i| = AM.

La condition |z − 1 − 2i| = 5 s'écrit AM = 5. L'ensemble cherché est le cercle de centre A et de rayon 5.

D'après la question 1, AB = 5 et AC = 5 : les points B et C appartiennent à ce cercle.

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