Exercices sur les nombres complexes

Ces huit exercices sont classés du plus simple au plus difficile. Ils reprennent la forme algébrique, le module et l'argument, les formes trigonométrique et exponentielle, les équations du second degré, les racines n-ièmes de l'unité et les suites géométriques complexes. Chaque exercice a sa correction détaillée en bas de la page.

Exercice 1

On pose z₁ = 2 + 3i et z₂ = 1 − i.

Écrire sous forme algébrique les nombres suivants :

a) z₁ + z₂ et z₁ − z₂ ;

b) z₁ × z₂ et z₁² ;

c) le conjugué $\overline{z_1}$ de z₁ ;

d) le quotient $\frac{z_1}{z_2}$.

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Exercice 2

1) Résoudre dans ℂ l'équation (2 − i)z + 1 = 4 + 3i. Donner la solution sous forme algébrique.

2) Soit x un nombre réel. Écrire (x + i)(1 + 2i) sous forme algébrique, puis déterminer x pour que ce nombre soit réel, puis pour qu'il soit imaginaire pur.

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Exercice 3

On pose z = 1 + i√3, w = −2 + 2i et v = −3i.

1) Calculer le module et un argument de chacun des nombres z, w et v.

2) En déduire le module et un argument du produit z × w.

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Exercice 4

1) Écrire z = √3 − i sous forme exponentielle.

2) Écrire w = 4e^2iπ/3 sous forme algébrique.

3) Calculer z × w de deux façons : avec les formes exponentielles, puis avec les formes algébriques.

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Exercice 5

1) En utilisant la forme exponentielle, calculer (1 + i)⁸ et (1 + i√3)⁵.

2) Soit θ un réel. En développant (cos θ + i sin θ)² de deux façons, avec la formule de Moivre puis avec l'identité remarquable, retrouver les expressions de cos(2θ) et de sin(2θ) en fonction de cos θ et sin θ.

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Exercice 6

Résoudre dans ℂ les équations suivantes :

a) z² − 4z + 13 = 0 ;

b) 2z² + 2z + 1 = 0.

Pour l'équation a), vérifier le résultat en calculant la somme et le produit des solutions.

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Exercice 7

On cherche les racines cubiques de l'unité, c'est-à-dire les nombres complexes z tels que z³ = 1.

1) Vérifier que z³ − 1 = (z − 1)(z² + z + 1).

2) En déduire les trois solutions de z³ = 1. On note j la solution dont la partie imaginaire est strictement positive ; écrire j sous forme exponentielle.

3) Montrer que j² est le conjugué de j et que 1 + j + j² = 0.

4) Calculer j²⁰²⁶.

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Exercice 8

Soit (z_n) la suite géométrique de premier terme z₀ = 8 et de raison q = $\frac{1+i\sqrt{3}}{4}$.

1) Déterminer le module et un argument de q.

2) Écrire z_n sous forme exponentielle, puis calculer z₃ et z₆.

3) La suite (z_n) converge-t-elle ? Déterminer le plus petit entier n tel que |z_n| < 0,01.

4) Calculer la somme S = z₀ + z₁ + … + z₅ sous forme algébrique.

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Corrections

Correction de l'exercice 1

a) z₁ + z₂ = (2 + 1) + (3 − 1)i = 3 + 2i ;

z₁ − z₂ = (2 − 1) + (3 − (−1))i = 1 + 4i.

b) z₁ × z₂ = (2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i ;

z₁² = (2 + 3i)² = 4 + 12i + 9i² = 4 + 12i − 9 = −5 + 12i.

c) Le conjugué s'obtient en changeant le signe de la partie imaginaire : $\overline{z_1}$ = 2 − 3i.

d) On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, 1 + i :

$\frac{z_1}{z_2}$ = (2 + 3i)(1 + i) / ((1 − i)(1 + i)) = (2 + 2i + 3i + 3i²) / (1 − i²) = (−1 + 5i)/2 = −1/2 + (5/2)i.

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Correction de l'exercice 2

1) (2 − i)z + 1 = 4 + 3i ;

(2 − i)z = 3 + 3i ;

z = (3 + 3i)/(2 − i) = (3 + 3i)(2 + i) / ((2 − i)(2 + i)) = (6 + 3i + 6i + 3i²) / (4 + 1) = (3 + 9i)/5.

La solution est z = 3/5 + (9/5)i.

2) (x + i)(1 + 2i) = x + 2xi + i + 2i² = (x − 2) + (2x + 1)i.

Ce nombre est réel si sa partie imaginaire est nulle : 2x + 1 = 0, soit x = −1/2. Il vaut alors −1/2 − 2 = −5/2.

Il est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle : x − 2 = 0, soit x = 2. Il vaut alors 5i.

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Correction de l'exercice 3

1) |z| = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = 2. Un argument θ de z vérifie cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2, donc θ = π/3.

|w| = √((−2)² + 2²) = √8 = 2√2. Un argument θ' de w vérifie cos θ' = −2/(2√2) = −√2/2 et sin θ' = 2/(2√2) = √2/2, donc θ' = 3π/4.

|v| = √(0² + (−3)²) = 3. Le point d'affixe v est sur la demi-droite des imaginaires négatifs, donc un argument de v est −π/2.

2) Le module d'un produit est le produit des modules : |z × w| = 2 × 2√2 = 4√2.

Un argument d'un produit est la somme des arguments : arg(z × w) = π/3 + 3π/4 = 4π/12 + 9π/12 = 13π/12.

À 2π près, on peut aussi prendre 13π/12 − 2π = −11π/12.

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Correction de l'exercice 4

1) |z| = √((√3)² + (−1)²) = √4 = 2. Un argument θ vérifie cos θ = √3/2 et sin θ = −1/2, donc θ = −π/6.

Donc z = 2e^−iπ/6.

2) w = 4(cos(2π/3) + i sin(2π/3)) = 4(−1/2 + i√3/2) = −2 + 2i√3.

3) Avec les formes exponentielles :

z × w = 2e^−iπ/6 × 4e^2iπ/3 = 8e^{i(2π/3 − π/6)} = 8e^{i(4π/6 − π/6)} = 8e^iπ/2 = 8i.

Avec les formes algébriques :

z × w = (√3 − i)(−2 + 2i√3) = −2√3 + 2i × 3 + 2i − 2i²√3 = −2√3 + 6i + 2i + 2√3 = 8i.

On trouve bien le même résultat.

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Correction de l'exercice 5

1) |1 + i| = √2 et un argument de 1 + i est π/4, donc 1 + i = √2 e^iπ/4.

(1 + i)⁸ = (√2)⁸ e^8iπ/4 = 2⁴ e^2iπ = 16 × 1 = 16.

|1 + i√3| = 2 et un argument de 1 + i√3 est π/3, donc 1 + i√3 = 2e^iπ/3.

(1 + i√3)⁵ = 2⁵ e^5iπ/3 = 32(cos(5π/3) + i sin(5π/3)) = 32(1/2 − i√3/2) = 16 − 16i√3.

2) D'après la formule de Moivre : (cos θ + i sin θ)² = cos(2θ) + i sin(2θ).

Avec l'identité remarquable : (cos θ + i sin θ)² = cos²θ + 2i sin θ cos θ + i² sin²θ = (cos²θ − sin²θ) + i(2 sin θ cos θ).

Deux nombres complexes égaux ont la même partie réelle et la même partie imaginaire, donc :

cos(2θ) = cos²θ − sin²θ et sin(2θ) = 2 sin θ cos θ.

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Correction de l'exercice 6

a) Δ = (−4)² − 4 × 1 × 13 = 16 − 52 = −36 < 0.

Le discriminant est négatif et −36 = (6i)², donc l'équation a deux solutions complexes conjuguées :

z₁ = (4 + 6i)/2 = 2 + 3i et z₂ = (4 − 6i)/2 = 2 − 3i.

Vérification : z₁ + z₂ = 4 = −(−4)/1 et z₁ × z₂ = (2 + 3i)(2 − 3i) = 4 − 9i² = 4 + 9 = 13 = 13/1.

b) Δ = 2² − 4 × 2 × 1 = 4 − 8 = −4 < 0 et −4 = (2i)².

z₁ = (−2 + 2i)/4 = −1/2 + i/2 et z₂ = (−2 − 2i)/4 = −1/2 − i/2.

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Correction de l'exercice 7

1) (z − 1)(z² + z + 1) = z³ + z² + z − z² − z − 1 = z³ − 1.

2) z³ = 1 équivaut à (z − 1)(z² + z + 1) = 0, donc à z = 1 ou z² + z + 1 = 0.

Pour z² + z + 1 = 0 : Δ = 1² − 4 × 1 × 1 = −3 = (i√3)², donc z = (−1 + i√3)/2 ou z = (−1 − i√3)/2.

Les trois racines cubiques de l'unité sont 1, −1/2 + i√3/2 et −1/2 − i√3/2.

j = −1/2 + i√3/2 : |j| = √(1/4 + 3/4) = 1, cos θ = −1/2 et sin θ = √3/2, donc j = e^2iπ/3.

3) j² = e^4iπ/3 = cos(4π/3) + i sin(4π/3) = −1/2 − i√3/2 : c'est bien le conjugué de j.

1 + j + j² = 1 + (−1/2 + i√3/2) + (−1/2 − i√3/2) = 1 − 1/2 − 1/2 = 0.

On peut aussi utiliser la somme des termes d'une suite géométrique : j ≠ 1, donc 1 + j + j² = (1 − j³)/(1 − j) = (1 − 1)/(1 − j) = 0.

4) j³ = 1 et 2026 = 3 × 675 + 1, donc j²⁰²⁶ = (j³)⁶⁷⁵ × j = 1 × j = j = −1/2 + i√3/2.

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Correction de l'exercice 8

1) |q| = √((1/4)² + (√3/4)²) = √(1/16 + 3/16) = √(4/16) = 1/2.

Un argument θ de q vérifie cos θ = (1/4) ÷ (1/2) = 1/2 et sin θ = (√3/4) ÷ (1/2) = √3/2, donc θ = π/3.

2) q = (1/2)e^iπ/3, donc z_n = 8 × (1/2)ⁿ e^inπ/3 = (8/2ⁿ) e^inπ/3.

z₃ = (8/8) e^iπ = −1 ;

z₆ = (8/64) e^2iπ = 1/8.

3) |z_n| = 8 × (1/2)ⁿ et −1 < 1/2 < 1, donc |z_n| tend vers 0 : la suite (z_n) converge vers 0. Les points d'affixe z_n tournent de π/3 à chaque étape en se rapprochant de O.

|z_n| < 0,01 équivaut à 8/2ⁿ < 0,01, soit 2ⁿ > 800.

Or 2⁹ = 512 et 2¹⁰ = 1024, et la suite (2ⁿ) est croissante. Le plus petit entier cherché est donc n = 10 : |z₉| = 8/512 ≈ 0,0156 et |z₁₀| = 8/1024 ≈ 0,0078.

4) q ≠ 1, donc S = z₀(1 + q + … + q⁵) = 8 × (1 − q⁶)/(1 − q).

q⁶ = (1/2)⁶ e^6iπ/3 = (1/64) e^2iπ = 1/64, donc 8(1 − q⁶) = 8 × 63/64 = 63/8.

1 − q = 1 − 1/4 − i√3/4 = (3 − i√3)/4, donc 1/(1 − q) = 4/(3 − i√3) = 4(3 + i√3) / ((3 − i√3)(3 + i√3)) = 4(3 + i√3)/(9 + 3) = (3 + i√3)/3 = 1 + i√3/3.

S = (63/8)(1 + i√3/3) = 63/8 + (21√3/8)i.

Valeur approchée : S ≈ 7,875 + 4,547i.

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