Forme algébrique d'un nombre complexe

Nous avons vu dans la page construction de ℂ que tout nombre complexe z s'écrit de façon unique z = a + ib, avec a et b réels. C'est la forme algébrique de z : a est la partie réelle Re(z) et b est la partie imaginaire Im(z).

Dans cette page, on apprend à calculer dans ℂ et à donner le résultat sous forme algébrique.

1) Somme et produit de deux nombres complexes

Les règles de calcul dans ℂ sont les mêmes que dans ℝ. Il suffit de calculer comme avec des réels, puis de remplacer i² par −1.

Soient z = a + ib et z' = a' + ib' deux nombres complexes, avec a, b, a', b' réels :

z + z' = (a + a') + i(b + b') ;
z × z' = (aa' − bb') + i(ab' + a'b).

Il n'est pas utile d'apprendre la formule du produit par cœur : on développe, puis on utilise i² = −1.

Calculons la somme (2 + 3i) + (1 − i) :

(2 + 3i) + (1 − i) = (2 + 1) + (3 − 1)i = 3 + 2i.

Calculons le produit (2 + 3i)(1 − i). On développe :

(2 + 3i)(1 − i) = 2 × 1 − 2 × i + 3i × 1 − 3i × i ;

(2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i² ;

(2 + 3i)(1 − i) = 2 + i − 3 × (−1) ;

(2 + 3i)(1 − i) = 2 + i + 3 = 5 + i.

L'opposé de z = a + ib est −z = −a − ib. La différence z − z' est égale à z + (−z'), c'est-à-dire (a − a') + i(b − b').

2) Puissances de i

Calculons les premières puissances de i :

i¹ = i ;

i² = −1 ;

i³ = i² × i = −1 × i = −i ;

i⁴ = i³ × i = −i × i = −i² = 1 ;

i⁵ = i⁴ × i = 1 × i = i.

On retrouve i : les puissances de i se répètent de 4 en 4.

Pour tout entier naturel k :

i^4k = 1 ;
i^4k+1 = i ;
i^4k+2 = −1 ;
i^4k+3 = −i.

En effet, i^4k = (i⁴)^k = 1^k = 1, puis on multiplie par i, i² ou i³.

Calculons i¹⁵. On divise 15 par 4 : 15 = 4 × 3 + 3.

i¹⁵ = (i⁴)³ × i³ = 1 × (−i) = −i.

3) Identités remarquables

Comme les règles de calcul sont les mêmes que dans ℝ, les identités remarquables restent vraies dans ℂ.

Pour tous nombres complexes z et z' :

(z + z')² = z² + 2zz' + z'² ;
(z − z')² = z² − 2zz' + z'² ;
(z + z')(z − z') = z² − z'².

Avec a et b réels, on obtient deux formules très utiles :

(a + ib)² = a² + 2iab + i²b² = (a² − b²) + 2abi ;

(a + ib)(a − ib) = a² − (ib)² = a² − i²b² = a² + b².

La dernière formule est importante : le produit (a + ib)(a − ib) est un réel positif. Nous l'utiliserons pour calculer des inverses.

(3 + i)² = 9 + 6i + i² = 9 + 6i − 1 = 8 + 6i.

(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i.

On en déduit (1 + i)⁴ = ((1 + i)²)² = (2i)² = 4i² = −4.

(2 + 5i)(2 − 5i) = 2² + 5² = 4 + 25 = 29.

4) Conjugué d'un nombre complexe

Soit z = a + ib un nombre complexe, avec a et b réels. On appelle conjugué de z le nombre complexe $\overline{z} = a - i b$ .

On change simplement le signe de la partie imaginaire.

Le conjugué de 2 + 3i est 2 − 3i.

Le conjugué de −1 − i est −1 + i.

Le conjugué de 5 est 5, le conjugué de 4i est −4i.

Dans le plan complexe, les points d'affixes z et $\overline{z}$ ont la même abscisse et des ordonnées opposées : ils sont symétriques par rapport à l'axe réel.

a) Premières propriétés

Soit z = a + ib un nombre complexe, avec a et b réels :

$z + \overline{z} = 2 a = 2 Re (z)$ ;
$z - \overline{z} = 2 i b = 2 i Im (z)$ ;
$z \times \overline{z} = a^{2} + b^{2}$ , c'est un réel positif ou nul ;
z est réel si, et seulement si, $\overline{z} = z$ ;
z est imaginaire pur si, et seulement si, $\overline{z} = - z$ .

Démonstration

On a z + $\overline{z}$ = (a + ib) + (a − ib) = 2a et z − $\overline{z}$ = (a + ib) − (a − ib) = 2ib.

Le produit z × $\overline{z}$ = (a + ib)(a − ib) = a² + b² a été calculé au 3). C'est une somme de deux carrés de réels, donc un réel positif ou nul.

$\overline{z}$ = z équivaut à z − $\overline{z}$ = 0, c'est-à-dire 2ib = 0, donc b = 0 : z est réel.

$\overline{z}$ = −z équivaut à z + $\overline{z}$ = 0, c'est-à-dire 2a = 0, donc a = 0 : z est imaginaire pur.

b) Conjugué et opérations

Pour tous nombres complexes z et z', et pour tout entier naturel n ≥ 1 :

$\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$ ;
$\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$ ;
$\overline{z^{n}} = {(\overline{z})}^{n}$ ;
si z' ≠ 0, $\overline{(\frac{z}{z'})} = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$ .

Démonstration pour la somme et le produit

Posons z = a + ib et z' = a' + ib', avec a, b, a', b' réels.

Pour la somme : z + z' = (a + a') + i(b + b'), donc son conjugué est (a + a') − i(b + b').

D'autre part, $\overline{z}$ + $\overline{z'}$ = (a − ib) + (a' − ib') = (a + a') − i(b + b'). Les deux résultats sont égaux.

Pour le produit : z × z' = (aa' − bb') + i(ab' + a'b), donc son conjugué est (aa' − bb') − i(ab' + a'b).

D'autre part :

$\overline{z}$ × $\overline{z'}$ = (a − ib)(a' − ib') = aa' − iab' − ia'b + i²bb' ;

$\overline{z}$ × $\overline{z'}$ = (aa' − bb') − i(ab' + a'b).

Les deux résultats sont égaux. La propriété des puissances s'en déduit par récurrence, en appliquant celle du produit.

5) Inverse et quotient

Soit z = a + ib un nombre complexe non nul. Alors a et b ne sont pas tous les deux nuls, donc a² + b² ≠ 0.

L'idée est de multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le dénominateur devient alors le réel a² + b² :

$\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{z \times \overline{z}} = \frac{a - i b}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a}{a^{2} + b^{2}} - i \frac{b}{a^{2} + b^{2}}$ .

Pour écrire un quotient sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Écrivons 1/(1 + i) sous forme algébrique. Le conjugué de 1 + i est 1 − i :

$\frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{(1 + i) (1 - i)} = \frac{1 - i}{1^{2} + 1^{2}} = \frac{1 - i}{2}$ .

Donc 1/(1 + i) = 1/2 − (1/2)i.

Vérification : (1 + i)(1 − i) = 1 + 1 = 2, donc (1 + i) × (1 − i)/2 = 1.

Écrivons (3 + 2i)/(1 − 2i) sous forme algébrique. Le conjugué de 1 − 2i est 1 + 2i :

$\frac{3 + 2 i}{1 - 2 i} = \frac{(3 + 2 i) (1 + 2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$ .

Au numérateur : (3 + 2i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 2i + 4i² = 3 + 8i − 4 = −1 + 8i.

Au dénominateur : (1 − 2i)(1 + 2i) = 1² + 2² = 5.

Donc (3 + 2i)/(1 − 2i) = (−1 + 8i)/5 = −1/5 + (8/5)i.

Le module, que nous verrons dans la page module et argument, permet d'écrire z × $\overline{z}$ = |z|².

Exercices

Exercice 1

Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

a) (3 − 2i) + (−1 + 5i) ; b) (1 + 2i)(3 − i) ; c) (2 − i)² ; d) (1 + 2i)³ ; e) i²⁰²⁶.

Voir la correction

Exercice 2

Écrire sous forme algébrique les quotients suivants :

a) $\frac{2 + i}{3 - 4 i}$ ; b) $\frac{1 + i}{1 - i}$ ; c) $\frac{1}{2 - i}$ .

Voir la correction

Exercice 3

Résoudre dans ℂ les équations suivantes, d'inconnue z :

a) (1 + i)z = 3 − i ;

b) 2z + $\overline{z}$ = 6 − 2i.

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Corrections

Correction de l'exercice 1

a) On regroupe les parties réelles et les parties imaginaires :

(3 − 2i) + (−1 + 5i) = (3 − 1) + (−2 + 5)i = 2 + 3i.

b) On développe :

(1 + 2i)(3 − i) = 3 − i + 6i − 2i² = 3 + 5i + 2 = 5 + 5i.

c) On utilise l'identité remarquable (a − b)² = a² − 2ab + b² :

(2 − i)² = 4 − 4i + i² = 4 − 4i − 1 = 3 − 4i.

d) On calcule d'abord le carré :

(1 + 2i)² = 1 + 4i + 4i² = 1 + 4i − 4 = −3 + 4i ;

puis on multiplie par 1 + 2i :

(1 + 2i)³ = (−3 + 4i)(1 + 2i) = −3 − 6i + 4i + 8i² = −3 − 2i − 8 = −11 − 2i.

e) On divise 2026 par 4 : 2026 = 4 × 506 + 2.

i²⁰²⁶ = (i⁴)⁵⁰⁶ × i² = 1 × (−1) = −1.

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Correction de l'exercice 2

Dans chaque cas, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

a) Le conjugué de 3 − 4i est 3 + 4i.

Numérateur : (2 + i)(3 + 4i) = 6 + 8i + 3i + 4i² = 6 + 11i − 4 = 2 + 11i.

Dénominateur : (3 − 4i)(3 + 4i) = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

Donc (2 + i)/(3 − 4i) = (2 + 11i)/25 = 2/25 + (11/25)i.

b) Le conjugué de 1 − i est 1 + i.

Numérateur : (1 + i)(1 + i) = 1 + 2i + i² = 2i.

Dénominateur : (1 − i)(1 + i) = 1² + 1² = 2.

Donc (1 + i)/(1 − i) = 2i/2 = i.

c) Le conjugué de 2 − i est 2 + i.

1/(2 − i) = (2 + i)/((2 − i)(2 + i)) = (2 + i)/(2² + 1²) = (2 + i)/5 = 2/5 + (1/5)i.

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Correction de l'exercice 3

a) Comme 1 + i ≠ 0, on peut diviser par 1 + i :

z = (3 − i)/(1 + i).

On multiplie le numérateur et le dénominateur par 1 − i :

z = (3 − i)(1 − i)/((1 + i)(1 − i)) = (3 − 3i − i + i²)/2 = (2 − 4i)/2 = 1 − 2i.

Vérification : (1 + i)(1 − 2i) = 1 − 2i + i − 2i² = 1 − i + 2 = 3 − i.

L'équation a une seule solution : z = 1 − 2i.

b) Ici, z et son conjugué apparaissent tous les deux. On pose z = x + iy, avec x et y réels. Alors $\overline{z}$ = x − iy et :

2z + $\overline{z}$ = 2x + 2iy + x − iy = 3x + iy.

L'équation devient 3x + iy = 6 − 2i. Par unicité de la forme algébrique, on identifie les parties réelles et les parties imaginaires :

3x = 6 et y = −2 ;

donc x = 2 et y = −2.

Vérification : 2(2 − 2i) + (2 + 2i) = 4 − 4i + 2 + 2i = 6 − 2i.

L'équation a une seule solution : z = 2 − 2i.

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