Forme trigonométrique et forme exponentielle d'un nombre complexe

Sur cette page, nous utilisons le module et l'argument d'un nombre complexe, vus à la page module et argument. Les calculs en forme algébrique (produit, quotient, conjugué) sont rappelés à la page forme algébrique.

1) Forme trigonométrique

Soit z un nombre complexe non nul, de module r = |z| et d'argument θ. Le point M d'affixe z est à la distance r de l'origine O, et l'angle entre l'axe des réels et la demi-droite [OM) est θ.

Les coordonnées de M sont alors (r cos θ ; r sin θ). La partie réelle de z est donc r cos θ et sa partie imaginaire est r sin θ.

On a donc z = r cos θ + i r sin θ = r(cos θ + i sin θ).

Soit z un nombre complexe non nul de module r et d'argument θ. L'écriture z = r(cos θ + i sin θ) s'appelle une forme trigonométrique de z.

On dit « une » forme trigonométrique car l'argument n'est défini qu'à 2π près : r(cos θ + i sin θ) et r(cos(θ + 2π) + i sin(θ + 2π)) désignent le même nombre.

Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique

Soit z = a + ib avec a et b réels, z ≠ 0. On calcule d'abord le module r = √(a² + b²).

On cherche ensuite un réel θ tel que :

$cos\theta =\frac{a}{r}$ et $sin\theta =\frac{b}{r}$.

Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Il suffit de calculer cos θ et sin θ puis de développer.

2) Notation exponentielle

Pour tout réel θ, le nombre cos θ + i sin θ a pour module √(cos² θ + sin² θ) = 1 et pour argument θ. On lui donne une notation plus courte.

Pour tout réel θ, on pose $e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$.

Le point d'affixe e^iθ est le point du cercle de centre O et de rayon 1 (le cercle trigonométrique) repéré par l'angle θ.

Si z est un nombre complexe non nul de module r et d'argument θ, on a z = r(cos θ + i sin θ), c'est-à-dire z = re^iθ.

L'écriture z = re^iθ, avec r = |z| > 0 et θ un argument de z, s'appelle une forme exponentielle de z.

Propriétés de la notation exponentielle

Pour tous réels θ et θ', $e^{i\theta }\times e^{i\theta \text{'}}=e^{i(\theta +\theta \text{'})}$.

Démonstration

Nous développons le produit, en utilisant i² = −1 :

e^iθ × e^iθ' = (cos θ + i sin θ)(cos θ' + i sin θ') ;

e^iθ × e^iθ' = cos θ cos θ' + i cos θ sin θ' + i sin θ cos θ' + i² sin θ sin θ' ;

e^iθ × e^iθ' = (cos θ cos θ' − sin θ sin θ') + i(sin θ cos θ' + cos θ sin θ').

Or, d'après les formules d'addition de trigonométrie, cos θ cos θ' − sin θ sin θ' = cos(θ + θ') et sin θ cos θ' + cos θ sin θ' = sin(θ + θ').

Donc e^iθ × e^iθ' = cos(θ + θ') + i sin(θ + θ') = e^{i(θ + θ')}.

Cette propriété ressemble à la règle e^a × e^b = e^{a + b} de la fonction exponentielle : c'est ce qui justifie la notation.

Démonstration

D'après la propriété précédente, e^iθ × e^−iθ = e^{i(θ − θ)} = eⁱ⁰ = 1. Donc e^−iθ est l'inverse de e^iθ.

Le conjugué de e^iθ = cos θ + i sin θ est cos θ − i sin θ.

Or cos(−θ) = cos θ et sin(−θ) = −sin θ, donc cos θ − i sin θ = cos(−θ) + i sin(−θ) = e^−iθ.

Produit et quotient en forme exponentielle

Soit z = re^iθ et z' = r'e^iθ' deux nombres complexes non nuls.

zz' = re^iθ × r'e^iθ' = rr' × e^iθe^iθ' = rr'e^{i(θ + θ')}.

z/z' = (r/r') × e^iθ × (1/e^iθ') = (r/r') × e^iθe^−iθ' = (r/r')e^{i(θ − θ')}.

Pour multiplier deux nombres complexes en forme exponentielle, on multiplie les modules et on ajoute les arguments : $r{e}^{i\theta }\times r\text{'}{e}^{i\theta \text{'}}=rr\text{'}{e}^{i(\theta +\theta \text{'})}$. Pour les diviser, on divise les modules et on soustrait les arguments : $\frac{r{e}^{i\theta }}{r\text{'}{e}^{i\theta \text{'}}}=\frac{r}{r\text{'}}{e}^{i(\theta -\theta \text{'})}$.

3) Formule de Moivre

Pour tout réel θ et pour tout entier naturel n : ${(cos\theta +isin\theta )}^n=cos\left(n\theta \right)+isin\left(n\theta \right)$, c'est-à-dire ${\left(e^{i\theta }\right)}^n=e^{in\theta }$.

Démonstration

Nous faisons un raisonnement par récurrence. Soit θ un réel fixé et P(n) l'énoncé « (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) ».

i) P(0) est vrai : (cos θ + i sin θ)⁰ = 1 et cos(0 × θ) + i sin(0 × θ) = cos 0 + i sin 0 = 1.

ii) Soit p un entier ≥ 0 tel que P(p) soit vrai. Nous avons donc par hypothèse (cos θ + i sin θ)^p = cos(pθ) + i sin(pθ), c'est-à-dire (e^iθ)^p = e^ipθ.

(e^iθ)^p+1 = (e^iθ)^p × e^iθ ;

(e^iθ)^p+1 = e^ipθ × e^iθ (hypothèse de récurrence) ;

(e^iθ)^p+1 = e^{i(pθ + θ)} (propriété du produit) ;

(e^iθ)^p+1 = e^i(p+1)θ = cos((p + 1)θ) + i sin((p + 1)θ).

Donc P(p+1) est vrai.

Conclusion : P(n) est vrai pour tout entier naturel n.

On en déduit, pour un nombre complexe z = re^iθ et un entier naturel n :

zⁿ = (re^iθ)ⁿ = rⁿe^inθ. Le module de zⁿ est rⁿ et nθ est un argument de zⁿ.

4) Formules d'Euler

Pour tout réel θ, nous avons :

e^iθ = cos θ + i sin θ ;

e^−iθ = cos(−θ) + i sin(−θ) = cos θ − i sin θ.

En ajoutant ces deux égalités : e^iθ + e^−iθ = 2 cos θ.

En les soustrayant : e^iθ − e^−iθ = 2i sin θ.

Pour tout réel θ : $cos\theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}$ et $sin\theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$.

Application : linéarisation de cos² θ

Linéariser cos² θ, c'est l'écrire sans puissance, à l'aide de cosinus d'angles multiples (cos 2θ, cos 3θ…). C'est utile par exemple pour calculer une primitive.

cos² θ = ((e^iθ + e^−iθ)/2)² ;

cos² θ = (e^2iθ + 2e^iθe^−iθ + e^−2iθ)/4 ;

cos² θ = (e^2iθ + e^−2iθ + 2)/4 car e^iθe^−iθ = e⁰ = 1 ;

cos² θ = (2 cos 2θ + 2)/4 d'après la formule d'Euler appliquée à 2θ ;

cos² θ = (1 + cos 2θ)/2.

Pour tout réel θ : ${cos}^2\theta =\frac{1+cos2\theta }{2}$.

Vérifions avec θ = 0 : cos² 0 = 1 et (1 + cos 0)/2 = (1 + 1)/2 = 1.

Exercices

Exercice 1

1. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : z₁ = 1 − i ; z₂ = 2√3 + 2i ; z₃ = −5.

2. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe z₄ = 3e^−iπ/3.

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Exercice 2

On pose a = 1 + i√3 et b = 1 + i.

1. Écrire a et b sous forme exponentielle.

2. En déduire la forme exponentielle de a/b.

3. Calculer a/b sous forme algébrique.

4. En déduire les valeurs exactes de cos(π/12) et de sin(π/12).

5. Calculer a⁶.

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Exercice 3

À l'aide des formules d'Euler, linéariser cos³ θ, c'est-à-dire l'écrire en fonction de cos 3θ et de cos θ.

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Corrections

Correction de l'exercice 1

1. Pour z₁ = 1 − i :

|z₁| = √(1² + (−1)²) = √2 ;

cos θ = 1/√2 = √2/2 et sin θ = −1/√2 = −√2/2, donc θ = −π/4 convient ;

z₁ = √2 e^−iπ/4.

Pour z₂ = 2√3 + 2i :

|z₂| = √((2√3)² + 2²) = √(12 + 4) = √16 = 4 ;

cos θ = 2√3/4 = √3/2 et sin θ = 2/4 = 1/2, donc θ = π/6 convient ;

z₂ = 4e^iπ/6.

Pour z₃ = −5 :

|z₃| = 5 ;

cos θ = −5/5 = −1 et sin θ = 0, donc θ = π convient ;

z₃ = 5e^iπ.

2. z₄ = 3e^−iπ/3 = 3(cos(−π/3) + i sin(−π/3)) = 3(1/2 − i√3/2) = 3/2 − (3√3/2)i.

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Correction de l'exercice 2

1. |a| = √(1 + 3) = 2, cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2, donc θ = π/3 convient : a = 2e^iπ/3.

Nous avons vu dans le cours que b = 1 + i = √2 e^iπ/4.

2. On divise les modules et on soustrait les arguments :

a/b = (2/√2) e^{i(π/3 − π/4)} = √2 e^iπ/12.

3. On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué 1 − i de b :

a/b = (1 + i√3)(1 − i) / ((1 + i)(1 − i)) ;

a/b = (1 − i + i√3 − i²√3) / (1 − i²) ;

a/b = (1 + √3 + i(√3 − 1)) / 2 ;

a/b = (1 + √3)/2 + i(√3 − 1)/2.

4. D'après la question 2, a/b = √2 e^iπ/12 = √2 cos(π/12) + i√2 sin(π/12).

En identifiant les parties réelles et imaginaires avec la question 3 :

√2 cos(π/12) = (1 + √3)/2, donc cos(π/12) = (1 + √3)/(2√2) = (√2 + √6)/4 ;

√2 sin(π/12) = (√3 − 1)/2, donc sin(π/12) = (√3 − 1)/(2√2) = (√6 − √2)/4.

(On a multiplié le numérateur et le dénominateur par √2 : (1 + √3)√2 = √2 + √6 et 2√2 × √2 = 4.)

5. D'après la formule de Moivre :

a⁶ = 2⁶ e^6iπ/3 = 64e^2iπ = 64.

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Correction de l'exercice 3

On utilise cos θ = (e^iθ + e^−iθ)/2 et l'identité (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³.

cos³ θ = (e^iθ + e^−iθ)³ / 8 ;

cos³ θ = (e^3iθ + 3e^2iθe^−iθ + 3e^iθe^−2iθ + e^−3iθ) / 8 ;

cos³ θ = (e^3iθ + 3e^iθ + 3e^−iθ + e^−3iθ) / 8 ;

cos³ θ = ((e^3iθ + e^−3iθ) + 3(e^iθ + e^−iθ)) / 8 ;

cos³ θ = (2 cos 3θ + 6 cos θ) / 8 ;

cos³ θ = (cos 3θ + 3 cos θ) / 4.

Vérification avec θ = 0 : cos³ 0 = 1 et (cos 0 + 3 cos 0)/4 = 4/4 = 1.

D'autres exercices sont proposés à la page exercices sur les nombres complexes.

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