Racines n-ièmes de l'unité

Sur cette page, nous utilisons la forme exponentielle d'un nombre complexe et la formule de Moivre, vues à la page forme trigonométrique et exponentielle.

1) Définition

Soit n un entier naturel non nul. On appelle racine n-ième de l'unité tout nombre complexe z tel que zⁿ = 1.

2) Les n racines n-ièmes de l'unité

Soit n un entier naturel non nul. L'équation zⁿ = 1 a exactement n solutions dans ℂ : les nombres ${\omega }_k=e^{\frac{2ik\pi }{n}}$ pour k = 0, 1, 2, …, n − 1.

Démonstration

Le nombre 0 n'est pas solution, car 0ⁿ = 0 ≠ 1. Soit z un nombre complexe non nul ; écrivons-le sous forme exponentielle z = re^iθ avec r > 0 et θ réel.

D'après la formule de Moivre, zⁿ = rⁿe^inθ. Et 1 s'écrit 1 = 1 × eⁱ⁰.

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement s'ils ont le même module et des arguments égaux à un multiple de 2π près (voir la page module et argument). Donc :

zⁿ = 1 équivaut à rⁿ = 1 et nθ = 0 + 2kπ avec k entier relatif.

Comme r est un réel strictement positif, rⁿ = 1 donne r = 1.

nθ = 2kπ donne θ = 2kπ/n.

Les solutions sont donc les nombres e^2ikπ/n avec k entier relatif.

Il reste à compter ces solutions. Pour k = 0, 1, …, n − 1, les angles 2kπ/n sont dans l'intervalle [0 ; 2π[ et sont tous différents : on obtient n points différents sur le cercle trigonométrique.

Pour un autre entier k, on écrit la division euclidienne de k par n : k = qn + m avec 0 ≤ m ≤ n − 1. Alors :

2kπ/n = 2(qn + m)π/n = 2qπ + 2mπ/n ;

donc e^2ikπ/n = e^2iqπ × e^2imπ/n = e^2imπ/n car e^2iqπ = cos(2qπ) + i sin(2qπ) = 1.

On retrouve une des n solutions déjà obtenues. Il y a donc exactement n solutions.

En posant ω = e^2iπ/n, la formule de Moivre donne ω^k = e^2ikπ/n. Les racines n-ièmes de l'unité sont donc les puissances successives de ω :

1, ω, ω², …, ωⁿ⁻¹.

3) Les premiers cas

Cas n = 2

Les solutions sont e⁰ = 1 et e^iπ = −1. On retrouve que les solutions de z² = 1 sont 1 et −1.

Cas n = 3 : le nombre j

Les solutions de z³ = 1 sont e⁰ = 1, e^2iπ/3 et e^4iπ/3.

On note $j=e^{\frac{2i\pi }{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

En effet, cos(2π/3) = −1/2 et sin(2π/3) = √3/2.

La troisième racine est e^4iπ/3 = (e^2iπ/3)² = j². Calculons-la :

j² = (−1/2 + i√3/2)² = 1/4 − 2 × (1/2) × i√3/2 + i² × 3/4 ;

j² = 1/4 − i√3/2 − 3/4 ;

j² = −1/2 − i√3/2.

Les racines cubiques de l'unité sont donc 1, j et j².

Calculons leur somme :

1 + j + j² = 1 + (−1/2 + i√3/2) + (−1/2 − i√3/2) = 1 − 1/2 − 1/2 = 0.

j³ = 1 et 1 + j + j² = 0.

On peut aussi le voir ainsi : z³ − 1 = (z − 1)(z² + z + 1). Les racines cubiques de l'unité autres que 1 sont donc les solutions de z² + z + 1 = 0, que nous avons résolue à la page équations du second degré.

Cas n = 4

Les solutions de z⁴ = 1 sont e^2ikπ/4 = e^ikπ/2 pour k = 0, 1, 2, 3 :

e⁰ = 1 ; e^iπ/2 = i ; e^iπ = −1 ; e^3iπ/2 = −i.

Les racines quatrièmes de l'unité sont 1, i, −1 et −i. Leurs points images sont les sommets d'un carré.

Cas n = 6

Les solutions de z⁶ = 1 sont e^2ikπ/6 = e^ikπ/3 pour k = 0, 1, …, 5 :

e⁰ = 1 ;

e^iπ/3 = 1/2 + i√3/2 ;

e^2iπ/3 = −1/2 + i√3/2 = j ;

e^iπ = −1 ;

e^4iπ/3 = −1/2 − i√3/2 = j² ;

e^5iπ/3 = 1/2 − i√3/2.

On remarque que les racines cubiques 1, j, j² font partie des racines sixièmes : c'est normal, car si z³ = 1 alors z⁶ = (z³)² = 1.

4) Somme des racines n-ièmes de l'unité

Pour tout entier n ≥ 2, la somme des n racines n-ièmes de l'unité est nulle : 1 + ω + ω² + … + ωⁿ⁻¹ = 0, avec ω = e^2iπ/n.

Démonstration

Les nombres 1, ω, ω², …, ωⁿ⁻¹ sont les n premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison ω.

Comme n ≥ 2, l'angle 2π/n est dans ]0 ; 2π[, donc ω ≠ 1. La formule de la somme des termes d'une suite géométrique s'applique aussi aux nombres complexes, avec la même démonstration :

1 + ω + ω² + … + ωⁿ⁻¹ = (ωⁿ − 1)/(ω − 1).

Or ωⁿ = 1, puisque ω est une racine n-ième de l'unité. Donc :

1 + ω + ω² + … + ωⁿ⁻¹ = (1 − 1)/(ω − 1) = 0.

5) Représentation : un polygone régulier

Toutes les racines n-ièmes de l'unité ont pour module 1 : leurs points images sont sur le cercle trigonométrique.

Leurs arguments sont 0, 2π/n, 4π/n, …, 2(n − 1)π/n. Deux racines consécutives sont donc séparées par le même angle 2π/n. Les points sont régulièrement répartis sur le cercle.

Pour n ≥ 3, les points images des racines n-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle trigonométrique, dont un sommet est le point d'affixe 1.

Pour n = 3 on obtient un triangle équilatéral, pour n = 4 un carré, pour n = 6 un hexagone régulier.

Les côtés de cet hexagone ont pour longueur 1 : par exemple, la distance entre les points d'affixes 1 et ω est |ω − 1| = |−1/2 + i√3/2| = √(1/4 + 3/4) = 1.

Exercices

Exercice 1

On rappelle que j = e^2iπ/3.

1. Montrer que le conjugué de j est égal à j², puis que 1/j = j².

2. Calculer j¹⁰⁰.

3. Calculer (1 + j)³. On pourra utiliser 1 + j + j² = 0.

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Exercice 2

Déterminer les racines huitièmes de l'unité, sous forme exponentielle puis sous forme algébrique. Quel polygone forment leurs points images ?

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Exercice 3

Résoudre dans ℂ l'équation z³ = 8. On pourra remarquer que z³ = 8 équivaut à (z/2)³ = 1.

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Corrections

Correction de l'exercice 1

1. Le conjugué de e^iθ est e^−iθ, donc le conjugué de j est e^−2iπ/3.

Or j² = e^4iπ/3 et 4π/3 = −2π/3 + 2π, donc j² = e^−2iπ/3. Le conjugué de j est bien j².

Comme j³ = 1, on a j × j² = 1, donc 1/j = j².

2. On divise 100 par 3 : 100 = 3 × 33 + 1.

j¹⁰⁰ = j^{3 × 33 + 1} = (j³)³³ × j = 1³³ × j = j.

Donc j¹⁰⁰ = j = −1/2 + i√3/2.

3. De 1 + j + j² = 0 on tire 1 + j = −j². Donc :

(1 + j)³ = (−j²)³ = −j⁶ = −(j³)² = −1.

Vérification : 1 + j = 1/2 + i√3/2 = e^iπ/3, donc (1 + j)³ = e^iπ = −1.

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Correction de l'exercice 2

Les racines huitièmes de l'unité sont les nombres e^2ikπ/8 = e^ikπ/4 pour k = 0, 1, …, 7 :

e⁰ = 1 ;

e^iπ/4 = √2/2 + i√2/2 ;

e^iπ/2 = i ;

e^3iπ/4 = −√2/2 + i√2/2 ;

e^iπ = −1 ;

e^5iπ/4 = −√2/2 − i√2/2 ;

e^3iπ/2 = −i ;

e^7iπ/4 = √2/2 − i√2/2.

Leurs points images sont les sommets d'un octogone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique. On remarque que les racines quatrièmes 1, i, −1, −i en font partie.

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Correction de l'exercice 3

z³ = 8 équivaut à z³/8 = 1, c'est-à-dire (z/2)³ = 1.

Donc z/2 est une racine cubique de l'unité : z/2 = 1, z/2 = j ou z/2 = j².

Les solutions sont donc :

z = 2 ;

z = 2j = 2(−1/2 + i√3/2) = −1 + i√3 ;

z = 2j² = 2(−1/2 − i√3/2) = −1 − i√3.

Vérification pour −1 + i√3 = 2e^2iπ/3 : d'après la formule de Moivre, (2e^2iπ/3)³ = 8e^2iπ = 8.

D'autres exercices sont proposés à la page exercices sur les nombres complexes.

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