Exercices sur les suites arithmétiques
Exercices : suites arithmétiques | suites géométriques
Exercice 1
Soit (un) une suite arithmétique de raison r.
1) On donne : u5 = 8, r = 3. Calculer u1, u20 et u101.
2) On donne : u3 = 23, u8 = 7. Calculer r, u5 et u10.
3) On donne : u7 = 4/3, u13 = 17/9. Calculer u0.
Exercice 2
Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = 7 − 3n.
1) Calculer u0, u1 et u2.
2) Démontrer que (un) est une suite arithmétique et déterminer sa raison.
3) Quelle est la valeur du 51e terme ?
4) Calculer la somme des 51 premiers termes.
Exercice 3
Trouver la valeur de u0 pour la suite arithmétique (un) de raison r = 14 telle que u23 = 54.
Exercice 4
Calculer la somme des entiers naturels de 1000 à 10000 (1000 et 10000 compris).
Exercice 5
Soit (un) une suite arithmétique de raison r dont on connaît deux termes : u100 = 90 et u1000 = 900.
1) Calculer la raison r et u0.
2) Calculer la somme u100 + u101 + … + u1000.
Corrections
Correction de l'exercice 1
1) On sait que un = u1 + r × (n − 1) d'où u1 = u5 − 3 × (5 − 1) = 8 − 12 = −4.
u20 = −4 + 3 × (20 − 1) = 53 et u101 = −4 + 3 × (101 − 1) = 296.
2) On a u3 − u8 = u1 + r × (3 − 1) − [u1 + r × (8 − 1)] = 2r − 7r = −5r, or u3 − u8 = 23 − 7 = 16,
d'où −5r = 16, donc r = −16/5.
u5 = u3 + 2r = 23 − 32/5 = 83/5.
u10 = u5 + 5r = 83/5 − 16 = 3/5.
3) On a u7 − u13 = (7 − 13)r = −6r, or u7 − u13 = 4/3 − 17/9 = 12/9 − 17/9 = −5/9,
d'où −6r = −5/9, donc r = 5/54.
u7 = u0 + 7r, d'où u0 = u7 − 7r = 4/3 − 35/54 = 72/54 − 35/54 = 37/54.
Correction de l'exercice 2
1) u0 = 7 ; u1 = 4 ; u2 = 1.
2) Montrons que un − un−1 est constant pour tout n supérieur ou égal à 1 :
un − un−1 = 7 − 3n − (7 − 3(n − 1)) = −3n + 3(n − 1) = −3n + 3n − 3 = −3.
La suite (un) est donc une suite arithmétique de raison r = −3.
3) Le premier terme est u0, donc le 51e terme est u50 :
u50 = u0 + 50r = 7 + 50 × (−3) = −143.
4) La somme des 51 premiers termes est la somme de u0 à u50 :
S = u0 + u1 + … + u50 = 51 × (u0 + u50) ÷ 2 = 51 × (7 − 143) ÷ 2 = 51 × (−136) ÷ 2 = 51 × (−68) = −3468.
Correction de l'exercice 3
un = u0 + nr, d'où u23 = u0 + 23r et u0 = u23 − 23r = 54 − 23 × 14 = 54 − 322 = −268.
u0 = −268.
Correction de l'exercice 4
Soit S999 la somme des 999 premiers entiers naturels non nuls :
S999 = 1 + 2 + 3 + … + 999 = [(1 + 999) × 999] ÷ 2 = 999000 ÷ 2 = 499500.
Soit S10000 la somme des 10000 premiers entiers naturels non nuls :
S10000 = 1 + 2 + 3 + … + 9999 + 10000 = [(1 + 10000) × 10000] ÷ 2 = 100010000 ÷ 2 = 50005000.
On obtient donc :
1000 + 1001 + … + 9999 + 10000 = S10000 − S999 = 50005000 − 499500 = 49505500.
Correction de l'exercice 5
1) On a u100 = 90 et u1000 = 900. On sait que u100 = u0 + 100r et u1000 = u0 + 1000r, d'où :
u1000 − u100 = 900r = 900 − 90 = 810, donc r = 810/900 = 9/10.
u0 = u100 − 100r = 90 − 100 × 9/10 = 90 − 90 = 0.
2) De u100 à u1000, il y a 1000 − 100 + 1 = 901 termes. D'où :
u100 + u101 + … + u1000 = 901 × (u100 + u1000) ÷ 2 = 901 × (90 + 900) ÷ 2 = 901 × 495 = 445995.