Suites en mathématiques

Exercices suites arithmétiques

Exercices sur les suites arithmétiques

exercices : suites arithmétique | suites géométriques

Exercice 1

Soit la suite (u_n) est une suite arithmétique de raison r.

1) On donne : u₅ = 8, r = 3. Calculer u₁, u₂₀ et u₁₀₁.

2) On donne : u₃ = 23, u₈ = 7. Calculer r, u₅ et u₁₀.

3) On donne : u₇ = 4/3, u₁₃ =17/9. Calculer u₀.

Exercice 2

Soit la suite (u_n) définie par u_n = 7 − 3n

1) Calculer u₀, u₁ et u₂

2) Démontrer que (u_n) est une suite arthimétique et déterminer la raison de la suite ?

3) Quelle est la valeur du 51ème terme ?

4) Calculer la somme des 51 premiers termes ?

Exercice 3

Trouver est la valeur de u₀ de la suite dont la raison r est égale à 14 et u₂₃ = 54

Exercice 4

Calculer la somme des entiers naturel entre 1000 et 10000.

Exercice 5

Soit la suite arithmétiques (u_n) de raison r dont on connait 2 termes u₁₀₀ = 90 et u₁₀₀₀ = 900.

1) Calculer la raison r et u₀.

2) Calculer la somme de u₁₀₀ à u₁₀₀₀.

Correction exercice 1

1) On sait que u_n = u₁ + r × (n − 1) d'où u₁ = u₅ − 3×(5 − 1) = 8 − 12 = − 4

u₂₀ = −4 + 3×(20 − 1) = 53 et u₁₀₁ = −4 + 3×(101 − 1) = 296

2) On a u₃ − u₈ = u₁ + r × (3 − 1) − [u₁ + r × (8 − 1) ] = 2r − 7r = − 5r or u₃ − u₈= 23 − 7 = 16

d' où −5r = 16 d' où r = −16/5

u₅ = u₃ + 2r = 23 − 32/5 = 83/5

u₁₀ = u₅ + 5r = 83/5 − 16 = − 7/5

3) On a u₇ − u₁₃ = (7 − 13)r = − 6r or u₇ − u₁₃ = 4/3 − 17/9 = 12/9 − 17/9 = − 5/9

d'où r = 5/54

u₇ = u₀ + 7r d'où u₀ = 4/3 + 35/54 = 151/108

Correction exercice 2

1) u₀ = 7 ; u₁ = 4 ; u₂ = 1

2) Montrons que u_n − u_n−1 est constant pour tout n supérieur ou égal à 1

u_n − u_n−1 = 7 − 3n − ( 7 − 3(n−1)) = − 3n + 3n − 3 = − 3

la suite (u_n) est une suite arithmétique dont la raison r est égale à − 3.

3) u₅₀ = u₀ + nr = 7 + 50×(−3) = − 143.

Correction exercice 3

u_n = u₀ + nr d'où u₂₃ = u₀ + 23r et u₀ = u₂₃ − 23r = 54 − 23 × 14 = − 268

u₀ = − 268.

Correction exercice 4

Soit S₉₉₉ la somme des 999 premiers entiers naturels :

S₉₉₉ = 1 + 2 + 3 + ... + 999 = [ (1 + 999) × 999 ] ÷ 2 = 1001000 ÷ 2 = 499500

Soit S₁₀₀₀₀ la somme des 10000 premiers entiers naturels :

S₁₀₀₀₀ = 1 + 2 + 3 + ... + 999 + 10000 = [ (1 + 10000) × 10000 ] ÷ 2 = 100010000 ÷ 2 = 50005000

d'où on obtient :

1000 + 1001 + ... + 9999 + 10000 = S₁₀₀₀₀ − S₉₉₉ = 50005000 − 499500 = 49505500 .

Correction exercice 5

u₁₀₀ = 90 et u₁₀₀₀ = 900 on sait que u₁₀₀ = u₀ + 100r et u₁₀₀₀ = u₀ + 1000r d'où

u₁₀₀₀ − u₁₀₀ = 900r = 900 − 90 = 810 d'où r = 9/10

u₀ = 90 − 100r = 0.