Placements égaux successifs à intérêts composés

Un homme dépose au commencement de chaque année une somme de 2 050 € pendant 15 ans ; quel est le capital qui lui sera dû au bout de ce temps, les intérêts étant composés au taux de 4,5 % ?

Les valeurs acquises à l'époque du remboursement par les placements annuels sont :

pour la 1^re, 2 050 × 1,045¹⁵ ;

pour la 2^e, 2 050 × 1,045¹⁴ ;

pour la 3^e, 2 050 × 1,045¹³ ;

...

pour la 14^e, 2 050 × 1,045² ;

pour la 15^e, 2 050 × 1,045.

La somme due à cet homme au bout de 15 ans est le total de ces valeurs, c'est-à-dire :

2 050 × 1,045¹⁵ + 2 050 × 1,045¹⁴ + ... ... + 2 050 × 1,045² + 2 050 × 1,045 ;

ou en mettant 2 050 × 1,045 en facteur commun :

2 050 × 1,045 ( 1,045¹⁴ + 1,045¹³ + ... ... + 1,045 + 1 ).

La quantité entre parenthèses est la somme des termes d'une progression géométrique, dont la raison est 1,045 ; cette quantité est égale à :

(1,045¹⁵ − 1) / (1,045 − 1) ou (1,045¹⁵ − 1) / 0,045.

En désignant par S la somme due au déposant, on aura :

S = 2 050 × 1,045 × (1,045¹⁵ − 1) / 0,045.

Soit S ≈ 44 524,64 €.

Formule des placements égaux successifs

Si on désigne par a le versement annuel, r le taux annuel par € et n le nombre des années, le capital S constitué par les placements annuels est exprimé par la formule :

$S$ = $a\times \left(1+r\right)\times \frac{{\left(1+r\right)}^n-1}{r}$.