Le taux nominal et le taux actuariel dans un crédit

Le taux nominal annuel donné par les banques pour un emprunt immobilier ne correspond pas au taux équivalent annuel du taux mensuel.

Par exemple, lorsque votre banquier vous annonce que le taux de l'emprunt qu'il vous propose est égal à 4,5 %, cela signifie que le taux mensuel de votre emprunt est égal à 4,5/12, soit 0,375 % par mois.

L'intérêt de 1 € au bout de 1 mois étant de 0,00375 €, un capital de 1 € prend une valeur égale à 1,00375 €.

Au bout d'une année, soit 12 mois, les intérêts seront (voir la partie intérêts composés du site) de :

1,00375¹² − 1 ≈ 0,04594.

Le taux équivalent à l'année est donc d'environ 4,59 %.

Le taux équivalent à l'année est le taux actuariel, qui sert de base au calcul du TAEG (taux annuel effectif global) : le TAEG tient compte en plus des frais de dossier et des frais d'assurance.

Dans cet exemple, l'écart entre le taux nominal 4,5 % et le taux actuariel 4,59 % n'est pas si grand.

Mais il en est tout autrement si on vous propose, par exemple, un taux nominal de 18 %, soit 1,5 % de taux mensuel.

Souvent, on vous annonce seulement le taux mensuel de 1,5 % et on laisse le soin au consommateur de faire le calcul pour obtenir le taux nominal de 18 % par an.

Mais ce n'est pas encore le taux actuariel, qui, lui, est obtenu en élevant 1,015 à la puissance 12 et en retranchant 1, ce qui donne :

1,015¹² − 1 ≈ 1,19562 − 1 = 0,19562 ;

soit un taux réel d'environ 19,56 % à l'année.

Exemple d'un crédit à la consommation de type renouvelable (revolving)

On obtient avec peu d'efforts des cartes de crédit ouvrant un droit à découvert de 1 500 €. Pour fixer les idées, prenons le taux mensuel de 1,5 % précédemment étudié.

Dans ce genre de crédit, on ne calcule pas une mensualité pour un nombre de mois donné, mais on rembourse simplement une certaine somme par mois qui dépend du découvert atteint.

Supposons que le découvert maximal soit de 1 500 € dans notre exemple. Le consommateur va simplement reconstituer sa réserve de crédit, par exemple, par des remboursements de 45 € par mois.

Si le consommateur souhaite solder complètement sa dette, pendant combien de mois va-t-il devoir verser les mensualités de 45 € ?

À partir de la formule sur les mensualités, on peut déterminer le nombre de mois. Soit n la seule inconnue dans notre exemple.

m = C × t / [ 1 − ( 1 + t )⁻ⁿ ] ;

( 1 + t )⁻ⁿ = 1 − C × t / m ;

( 1 + t )ⁿ = m / ( m − C × t ) ;

de là on obtient, en passant par les logarithmes :

$n=\frac{\ln \left[\frac{m}{m-C\times t}\right]}{\ln \left(1+t\right)}$ = $\frac{\ln \left(m\right)-\ln \left(m-C\times t\right)}{\ln \left(1+t\right)}$ ;

soit, tout calcul fait, n ≈ 46,56 mois (avec C = 1 500, t = 0,015 et m = 45) et un coût total d'environ 46,56 × 45 − 1 500 ≈ 595 €.

Le consommateur va donc mettre plus de 46 mois soit pratiquement 4 ans à rembourser son emprunt de 1 500 €.

À titre de comparaison, un emprunt à la consommation classique de 1 500 € sur 24 mois, au taux de 8 % par exemple, donne des mensualités de 67,84 €, soit un coût total de 24 × 67,84 − 1 500 = 128,16 €.