La suite de Lucas

La suite de Lucas est définie par la même relation de récurrence que la suite de Fibonacci. La suite de Lucas fut étudiée par le mathématicien français Édouard Lucas. Les termes de cette suite sont appelés les nombres de Lucas.

La suite de Lucas est définie par u₁ = 1, u₂ = 3 et, pour tout n ≥ 2, par la relation u_n+1 = u_n + u_n−1.

Avec un code très simple en PHP, nous pouvons obtenir rapidement les premiers termes de cette suite :

<?php
$a = 1; $b = 3;
echo $a, ' ', $b, ' ';
for ($i = 3; $i <= 10; $i++) { // calcule les 10 premiers termes de la suite
    $c = $a + $b; $a = $b; $b = $c;
    echo $c, ' ';
}
?>

Voici les premiers nombres de Lucas et les puissances respectives du nombre d'or.

u₁ = 1
u₂ = 3
u₃ = 4 et [(1 + √5)/2]³ = 4.2360679774998...
u₄ = 7 et [(1 + √5)/2]⁴ = 6.8541019662497...
u₅ = 11 et [(1 + √5)/2]⁵ = 11.090169943749...
u₆ = 18 et [(1 + √5)/2]⁶ = 17.944271909999...
u₇ = 29 et [(1 + √5)/2]⁷ = 29.034441853749...
u₈ = 47 et [(1 + √5)/2]⁸ = 46.978713763748...
u₉ = 76 et [(1 + √5)/2]⁹ = 76.013155617496...
u₁₀ = 123 et [(1 + √5)/2]¹⁰ = 122.99186938124...
u₁₁ = 199 et [(1 + √5)/2]¹¹ = 199.00502499874...
u₁₂ = 322 et [(1 + √5)/2]¹² = 321.99689437999...
u₁₃ = 521 et [(1 + √5)/2]¹³ = 521.00191937873...
u₁₄ = 843 et [(1 + √5)/2]¹⁴ = 842.99881375871...
u₁₅ = 1364 et [(1 + √5)/2]¹⁵ = 1364.0007331374...
u₁₆ = 2207 et [(1 + √5)/2]¹⁶ = 2206.9995468961...
u₁₇ = 3571 et [(1 + √5)/2]¹⁷ = 3571.0002800336...
u₁₈ = 5778 et [(1 + √5)/2]¹⁸ = 5777.9998269297...
u₁₉ = 9349 et [(1 + √5)/2]¹⁹ = 9349.0001069633...
u₂₀ = 15127 et [(1 + √5)/2]²⁰ = 15126.999933893...
u₂₁ = 24476 et [(1 + √5)/2]²¹ = 24476.000040856...
u₂₂ = 39603 et [(1 + √5)/2]²² = 39602.999974749...
u₂₃ = 64079 et [(1 + √5)/2]²³ = 64079.000015606...

Remarquons que les puissances n-ièmes du nombre d'or sont très proches du n-ième terme de la suite de Lucas.